Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Правила предельного перехода

1. Предел суммы (разности) двух функций, имеющих предел, равен сумме (разности) пределов этих функций:

. (4.4)

2. Предел произведения двух функций, имеющих предел, равен произведению пределов этих функций:

. (4.5)

3. Постоянный множитель можно вынести до знака предела:

. (4.6)

4. Предел константы равен константе:

. (4.7)

5. Предел отношения двух функций, имеющих предел, равен отношению пределов этих функций:

. (4.8)

6. Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место

. (4.9)

Например,

,

.

Приведем примеры на применение правил предельного перехода:

1. ;

2. ;

3.

О п р е д е л е н и е 1. Функция называется бесконечно малой величиной (Б.М.В.) при , если ее предел равен нулю

(4.10)

Геометрически это означает, что функция либо пересекает ось ОХ (рис. 65а), либо касается ее в точке (рис. 65б).

а)	б)
Рис. 65

О п р е д е л е н и е 2. Функция называется бесконечно малой величиной при , если для каждого положительного сколь угодно малого числа e найдется положительное число , такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .

О п р е д е л е н и е 3. Функция называется бесконечно малой величиной при , если для каждого положительного сколь угодно малого числа e найдется сколь угодно большое положительное число такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство (рис. 66). . (4.11)

Рис. 66

Геометрически: для всех значений х, которые , значения функции попадают в e-окрестность нулевой точки:

Рис. 67

О п р е д е л е н и е 4. Функция называется бесконечно большой величиной при , если для каждого положительного сколь угодно большого числа N найдется соответствующее сколь угодно малое положительное число такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство : . (4.12) Геометрически: для всех значений х, попадающих в d-окрестность точки а , соответствующие значения функции будут по абсолютной величине больше сколь угодно большого числа N (рис. 67):

(4.13)

О п р е д е л е н и е 5. Функция называется бесконечно большой величиной при , если для каждого положительного сколь угодно большого числа N найдется соответствующее сколь угодно большое число такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство :

. (4.14)

Рис. 68

Геометрически: Функция будет бесконечно большой величиной при , если функция может принимать значения по абсолютной величине больше наперед заданного числа N (рис. 68):   (4.15)

В ы в о д ы:

1. Функция является бесконечно большой величиной, если

или . (4.16)

2. Данная запись (4.15) является символической.

3. Понятия бесконечно большая величина и бесконечно малая величина относятся только к характеру поведения функции, а не к ее величине вообще.

4.6. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин
и связь между ними

Пусть и бесконечно малые величины при , т.е. и .

1. Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

. (4.17)

2. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

. (4.18)

3. Произведение бесконечно малой величины на константу С или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно малая:

. (4.19)

Пусть и бесконечно большие величины при , т.е. и .

1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

. (4.20)

2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

. (4.21)

3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно большая:

(4.22)