Различные задачи во многих областях науки и техники при их математическом моделировании сводятся к решению дифференциальных уравнений.
Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые, кроме неизвестных функций одного или нескольких независимых переменных, содержат также и их производные. Дифференциальные уравнения (ДУ) называют обыкновенными (ОДУ), если неизвестные функции являются функциями одного переменного, в противном случае ДУ называться уравнениями в частных производных.
Соотношение
, (8.1)
связывающее переменную х, неизвестную функцию Y = Y(x) и ее производные до порядка n включительно, называют ОДУ n-го порядка.
Решить уравнение (8.1) – значит, найти функциональную зависимость Y = Y(x), превращающую ее в тождество.
Для практической реализации из общей записи ДУ (8.1) стараются выразить старшую производную, так, для n = 1 соотношение (8.1) примет вид
Y' = f(x, Y); (8.2)
Y" = f(x, Y, Y' ), если n = 2.
Общее решение уравнения (8.1) имеет вид
Y = Y(x, c1, c2, c3, …, cn),
где ci – произвольные постоянные.
Если из каких-то условий задать ci, то получают частное искомое решение:
Y = Y(x, c10, c20, c30, …, cn0). (8.3)
В зависимости от способа задания этих условий различают две задачи для обыкновенных дифференциальный уравнений:
1) задача Коши;
2) краевая задача.
В качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой функции или ее производных. Если условия задаются в одной точке отрезка определения Y(x) Î [a, b] и, как правило, в его начале x = x0 = a – это задача Коши с начальной точкой. Если дополнительные условия задаются в точках x = a и x = b – это краевая задача с граничными условиями. Общим решением для ДУ первого порядка будет Y = f(x, c), частным решением будет Y = f(x, c0).
Дадим геометрическую интерпретацию ДУ первого порядка из (8.2). Его решение можно изобразить в виде семейства кривых на плоскости X0Y (рис. 8.1):
Рис. 8.1
Пусть неявная функция f(x, y), правая часть уравнения (8.2), определена и непрерывна в области G этой плоскости. В каждой точке плоскости G функция f(x, y) задает некоторое направление. В целом это будет поле направлений. Для общего решения требуется найти все интегральные кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. А решение Y = Y(x) будет являться частным решением, соответствующим какой-то постоянной. Через каждую точку из области решения проходит одна интегральная кривая. Для ДУ при n > 1 через каждую точку проходит не одна интегральная кривая и нужно n дополнительных условий, т. е. для уравнений высших порядков геометрическая интерпретация их решений более сложная. А найти общее решение в аналитическом виде удается даже для ДУ первого порядка только в редких случаях. Частное решение тоже приходится искать приблизительно.
Методы решения ОДУ можно разбить на следующие группы:
– графические;
– аналитические;
– приближенные аналитические;
– численные.
Первые три метода рассмотрены в курсе дифференциальных уравнений.
Численные методы являются основным инструментом при решении научно-технических задач посредством ПК.
Наиболее распространенными численными методами решения дифференциальных уравнений являются методы конечных разностей, сущность которых состоит в замене области непрерывного изменения аргумента (например отрезок) дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. На ней искомая функция непрерывного аргумента заменяется приближенной функцией дискретного аргумента, т. е. решение ДУ сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки. Численные методы это алгоритмы вычисления приближенных значений искомой функции. Решение получается в виде таблицы. Они не позволяют найти общее решение в принципе.
С их помощью можно определить лишь частное решение, но они применимы к широким классам уравнений и всем типам задач. Следует заметить, что как во всех задачах о приближениях, здесь также требуются исследования на корректность и точность решений. Это подробно рассматривается в специальной литературе. Рассматриваемые ниже численные методы предполагают изначальное обеспечение этих двух компонент искомого решения.
, (8.1)