Улучшение аппроксимации при численном дифференцировании

Из рассмотренных выше конечно-разностных соотношений для определения производных видно, что порядок их точности прямо пропорционален числу узлов интерполяции. Однако с увеличением числа интерполяционных точек увеличивается объем вычислений, усложняется оценка их точности. Для устранения этого разработан простой и эффективный способ уточнения решения при конечном числе узлов при конечно-разностном подходе – метод Рунге – Ромберга.

Пусть F(x) производная, подлежащая аппроксимации, а f(x, h) – ее конечно-разностная аппроксимация на равномерной сетке с шагом h. Тогда остаточный член аппроксимации можно записать в следующем виде:

,

где первый член является главной частью погрешности. Значение производной примет вид

F(x) = f(x, h) + h^rj(x) + O(h^r+1). (7.19)

Запишем (7.19) в той же точке, но с другим шагом h₁ = kh, тогда

+. (7.20)

Приравнивая правые части (7.19) и (7.20), находим выражения для определения главного члена погрешности:

. (7.21)

Подставив (7.21) в (7.19), получим рабочую формулу:

. (7.22)

Данная формула позволяет по результатам двух расчетов значений производной с шагом h и kh повысить порядок точности от h^r до h^r+1.

Пример 7.4. Вычислить производную от y = x³ для x = 1. Очевидно, что ее точное значение y(1) = 3. Составим таблицу значений этой функции в окрестности заданной точки (x = 1):

Воспользуемся аппроксимацией с помощью левых разностей с порядком r = 1. Примем h₁ = 0,1; h₂ = 0,2; т. е. k = 2:

f(x, h) =;

f(x, kh) =.

Тогда

F(x) =.

Замечания:

1. Как видно из вышеизложенного, порядок точности по полученным формулам для численного дифференцирования по отношению к шагу сетки равен числу узлов интерполяции минус порядок производной. Поэтому минимальное число узлов интерполяции, необходимое для вычисления m-й производной, должно быть равным m + 1.

2. Из практических соображений рекомендуется использовать для расчетов четыре – шесть интерполяционных узлов. Тогда при оптимально подобранной сетке хорошая точность достигается при вычислении первой или второй производной, удовлетворительная точность достигается для третьей и четвертой производных. Для более высоких порядков производных данная сетка неприменима.

3. С ростом порядка m обычно резко падает точность численного дифференцирования, поэтому эти формулы для вычисления производных выше второго порядка используются редко.