Численные методы решения задачи Коши

Задача Коши для ОДУ

В зависимости от вида ДУ (8.1) задача Коши формируется следующим образом.

1. Если n = 1, то требуется найти Y = Y(x), удовлетворяющую уравнению

(8.4)

и принимающую при x = x₀ заданное значение Y₀:

Y(x₀) = Y₀ . (8.5)

Для определенности будем считать, что решение нужно получить для значений x > x₀. В качестве начального значения может быть произвольное x, но чаще всего принимают x₀ = 0, что не влияет на разработку численного метода для (8.4). Заметим, что все численные методы разработаны для решения ОДУ именно первого порядка.

2. Задача Коши для ОДУ n-го порядка:

; (8.6)

найти Y = Y(x), удовлетворяющую (8.6) и начальным условиям

, , …, , (8.7)

где – заданные числа.

3. Задача Коши для системы ДУ:

(8.8)

Задача Коши для системы (8.8) заключается в отыскании Y_i(x) (), удовлетворяющих (8.8) и начальным условиям

; ; … ; . (8.9)

Численные методы для решения ОДУ (8.4) и (8.5) применяются и для решения (8.8) и (8.9).

Дифференциальное уравнение n-го порядка (8.6) может быть приведено к системе (8.8) путем введения новых неизвестных функций Y_i(x), :

, , …, . (8.10)

Тогда (8.6) запишется следующим образом

Если удается найти общее решение для (8.4), (8.6), или системы (8.8), то задача Коши сводится к отысканию значений произвольных постоянных. Как правило, она решается приближенно.

Для решения задачи Коши (8.4) и (8.5) по технологии разностных методов введем последовательность точек x₀, x₁, ..., x_n и шаги h_i = x_i+1 – x_i (i = 0, 1, ..., n – 1). В каждом узле x_i вместо значений функции Y(x_i) вводятся числа y_i, как результат аппроксимации точного решения Y(x) на данном множестве точек. Функцию y, заданную в виде таблицы {x_i, y_i}, называют сеточной функцией. Заменяя значение производной в уравнении (8.4) отношением конечных разностей, осуществляем переход от дифференциальной задачи (8.4), (8.5) относительно функции Y(x) к разностной задаче относительно сеточной функции:

; (8.11)

y₀ = Y₀ . (8.12)

Это разностное уравнение в общем виде, а конкретное выражение правой части для (8.11) зависит от способа аппроксимации производной. Для каждого численного метода получается свой вид уравнения (8.11).

Если в правой части уравнения (8.11) отсутствует y_i+1, т. е. значение y_i+1 вычисляется по k предыдущим значениям y_i, y_i–1, ... , y_i–k+1, то разностная схема называется явной. При этом имеет место k-шаговый метод: k = 1 – одношаговый, k = 2 – двухшаговый и т. д., т. е. в одношаговых методах для вычисления y_i+1 используется лишь одно найденное значение на предыдущем шаге y_i, в многошаговом – многие из них.

Если y_i+1 входит в правую часть (8.11), то это будут неявные методы, реализация которых носит только итерационный характер.