Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа

Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа L(x) и его остаточный член R_L(x) для случая трех узлов интерполяции (n = 2), но с учетом, что x_i – x_i–1 = h = const (i = 1, 2, ..., n):

L(x) = [(x – x₁)(x – x₂)y₀ – 2(x – x₀)(x – x₂)y₁ + (x – x₀)(x – x₁)y₂];

R_L(x) = (x – x₀)(x – x₁)(x – x₂).

Найдем их производные:

[(2x – x₁ – x₂)×y₀ – 2(2x – x₀ – x₂)×y₁ + (2x – x₀ – x₁)×y₂];

[(x – x₁)(x – x₂) + (x – x₀)(x – x₂) + (x – x₀)(x – x₁)],

где – значение производной в некоторой внутренней точке x_* Î [x₀, x_n].

Запишем выражение для производной при х = x₀:

[(2x₀ – x₁ – x₂)×y₀ – 2(2x₀ – x₀ – x₂)×y₁ +

+ (2x₀ – x₀ – x₁)×y₂] + [(x₀ – x₁)(x₀ – x₂) + (x₀ – x₀)(x₀ – x₂) + (x₀ – x₀)(x₀ – x₁)] =

= (– 3y₀ + 4y₁ – y₂) + .

Аналогично можно получить значения , при х = x₁, х = x₂.

Итак, для случая трех узлов (n = 2) рабочие формулы имеют следующий вид:

(7.14)

В справочных пособиях приведены формулы Лагранжа для n = 3, 4, … . Так, для случая четырех узлов (n = 3):

(7.15)

Проанализировав (7.14) и (7.15), можно утверждать, что, используя значения функции в (n + 1) узлах, получают аппроксимацию n-го порядка точности для производной. Эти формулы можно использовать не только для узлов x₀, x₁, x₂, …, но и для любых узлов x = x_i, x_i+1, x_i+2, … с соответствующей заменой индексов в (7.14) и (7.15). С помощью многочлена Лагранжа получены аппроксимации и для старших производных.

Таким образом, при n = 3:

и т. д.

Аналогичные формулы можно получить и для случая произвольной сетки расположения узлов. Однако в этом случае имеют место неизбежные громоздкие выражения для расчетов производных.

При необходимости таких расчетов целесообразнее применять искусственный прием, так называемый метод неопределенных коэффициентов.