Погрешность численного дифференцирования

Аппроксимируя исследуемую функцию, ее представляют в виде

. (7.6)

В качестве j(x) можно принять либо интерполяционную функцию, либо частичную сумму ряда. Тогда погрешность аппроксимации R(x) определяется остаточным членом ряда или P_n–1(x). Дифференцируя (7.6) необходимое число раз, находим:

и т. д.

Тогда погрешность аппроксимации при численном дифференцировании функции, заданной таблицей с шагом h, зависит от h, и ее записывают в виде О(h^k). Показатель степени k называют порядком погрешности аппроксимации производной. При этом предполагается, что |h| < 1.

Оценку погрешности формул (7.2) – (7.5) можно проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора.

Пусть дважды непрерывно дифференцируемая функция f(x) задана таблицей значений:

В таблице y_i = f(x_i), i = . Пусть далее используются равностоящие узлы, h = (x_n – x₀)/n, x_i = x₀ + ih, h = x_i+1 – x_i, .

Запишем ряд Тейлора в общем виде:

. (7.7)

Запишем (7.7) при x = x₁, с точностью до h¹:

y₀ = y₁ – y'₁h + O(h²).

Тогда .

Это выражение совпадает с (7.2) и является аппроксимацией первого порядка (k = 1). Тогда для произвольного узла .

По всему отрезку [a, b], где h = (b - a)/n, для f '(x) погрешность не превысит величины R = .

Полагая для (7.7) Dx = h, можно получить этот результат и для соотношения (7.3). Для оценки погрешности для (7.4) и (7.5) воспользуемся рядом Тейлора с учетом того, что Dx = –h и Dx = h. Соответственно получим

(7.8)

в предположении, что f(x) трижды непрерывно дифференцируемая функция.

Вычитая из второго равенства первое, получаем

+ О(h²), здесь k = 2.

Для произвольного узла

.

На основании (7.7) по всему отрезку погрешность аппроксимации не превзойдет величины

.

Сложив равенства (7.8), найдем

+ О(h²), k = 2.

Для отрезка [x_i–1, x_i+1] получим

, i = .

Погрешность на отрезке [a, b] для второй производной оценивается соотношением

.

Следует отметить, что в целом приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Считают, что при численном дифференцировании функции y = f(x), заданной таблично, имеют место два типа погрешностей:

а) погрешности усечения, которые вызываются заменой функции y = f(x) интерполяционным многочленом P_n(x);

б) погрешности округления, которые вызываются неточным заданием исходных значений y_i.

При этом известно, что с уменьшением шага численного дифференцирования погрешность округления возрастает, а погрешность же усечения, как правило, убывает. Поэтому при вычислениях по формулам численного дифференцирования стоит задача и оптимального выбора шага h.