Аппроксимация производных посредством локальной интерполяции

Постановка задачи

К численному дифференцированию (ЧД) прибегают тогда, когда приходится вычислять производные для функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование y = f(x) затруднительно. Формулы для расчета в точке x области определения функции получают посредством аппроксимации оператора дифференцирования интерполяционными многочленами как локальной, так и глобальной интерполяции. А именно, берутся несколько близких к исследуемой точке x узлов x₁, x₂,…, x_n (n ³ m + 1), называемых шаблоном. Вычисляются значения y_i = f(x_i) в узлах шаблона, и строится интерполяционный многочлен

.

Тогда .

Для получения рабочих формул численного дифференцирования с точки зрения упрощения их реализации интерполирование производится на равномерной сетке, и производные обычно находятся в узлах x_i с соответствующей оценкой их погрешностей. При n = m + 1 формулы ЧД не зависят от положения точки x внутри шаблона, так как m-я производная от полинома m-й степени есть константа. Такие формулы называются простейшими формулами ЧД.

В случае табличного задания функции производную находят, опираясь на формулу

,

полагая

. (7.1)

Это соотношение называется аппроксимацией производной с помощью отношения конечных разностей. При заданных значениях таблицы {x_i, y_i}, i = и шаге расположения интерполяционных узлов h = const в зависимости от способа вычисления конечных разностей для i-го узла используются различные алгоритмы вычисления (7.1).

Пусть i = 1.

1. Формула левых разностей:

; ;

. (7.2)

2. Формула правых разностей:

; ;

. (7.3)

3. Формула центральных разностей:

; ;

. (7.4)

С помощью соотношений (7.2), (7.3), (7.4) последовательно можно получить выражения для вычисления производных высших порядков. Например, используя (7.3), получим

. (7.5)

Открытым остается вопрос точности.