ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности (формула Гаусса)

Рассмотренные выше квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона применяются для интегрирования функций f(x) невысокой степени гладкости (не выше f(x) Î C²[a, b]). Для данного класса функций они просты и удобны. И как показано выше, для повышения точности результатов, как один из подходов, всегда стремятся отрезок интегрирования разбивать на достаточно большее число частей. Однако практикой доказано, что для класса функций высокой степени гладкости (f(x) Î C^k[a, b], k > 2) точность этих квадратурных формул не повышается с ростом k, т. е. имеет место так называемое явление насыщения численного метода. Для такого класса функций разработаны другие квадратурные формулы такого же типа, что и раньше: , но посредством их структурного реформирования путем подбора в них (2n + 1) параметров: n узлов x_i, n коэффициентов q_i и самого числа n.

Все эти параметры выбираются так, чтобы квадратурная сумма возможно меньше отличалась от точного значения интеграла для всех функций f из некоторого класса. Используя математический аппарат в виде так называемых полиномов Лежандра, построенных на отрезке [–1, 1], получаем рабочую квадратурную формулу Гаусса:

, (6.31)

которая является точной (R = 0) для всех полиномов степени N = 2n – 1.

Корни вспомогательного полинома Лежандра расположены симметрично относительно нуля, соответствующие веса попарно равны и всегда положительны.

Для практических целей искомые коэффициенты q_i и абсциссы x_i для произвольных n табулированы для формулы (6.31).

При вычислении интеграла следует сделать замену переменной интегрирования t = x(b – a)/2 + (a + b)/2. Тогда

, (6.32)

где t_k = x_k(b – a)/2 + (b + a)/2, x_k – узлы формулы (6.31) на отрезке [–1; 1] и q_k – соответствующие им коэффициенты, взятые из табл. 6.1.

Таблица 6.1

n	x_i	q_i
. . .	-x₁ = x₄ = 0,861136312 -x₂ = x₃ = 0,339981044	q₁ = q₄ = 0,347854845 q₂ = q₃ = 0,652145155
. . .	-x₁ = x₅ = 0,906179846 -x₂ = x₄ = 0,538469310 x₃ = 0	q₁ = q₅ = 0,236926885 q₂ = q₄ = 0,478628670 q₃ = 0,568888889

Пример 6.3. Вычислить по формуле Гаусса при n = 5.

Решение. Сделаем замену переменной x = 1/2+ t ×1/2, тогда

Составим таблицу значений подынтегральной функции:

i	x_i	f(x_i)	q_i
	–0,9061179846	0,24945107	0,236926885
	–0,538469310	0,23735995	0,478628670
		0,2	0,568888889
	0,538469310	0,15706211	0,478628670
	0,906179846	0,13100114	0,236926885

По формуле Гаусса (6.31) определим

I = 2.

Точное значение интеграла I = p/4 = 0,785398163 (девять знаков после запятой) – метод Симпсона с шагом h = 0,1 дает погрешность в шестом разряде.