Составные квадратурные формулы с переменным шагом

Рассмотрим построение составных квадратурных формул с переменным шагом на примере квадратурной формулы прямоугольников.

Пусть f(x) Î C²[a, b] с дополнительным ограничением: – монотонная знакоопределенная функция на [a, b] (рис. 6.10). Для определенности возьмем – монотонно убывающую положительную функцию.

Рис. 6.10

Положим x₀ = a. Определим наибольшее значение x₁ из условия (6.22), т. е. чтобы погрешность для

·= e; ; (6.29)

не превышала заданной величины e. Очевидно, что для этого достаточно решить (6.29) относительно x₁.

Имеем x₁ = .

Следующие интервалы определяются аналогично.

Из рис. 6.10 видно, что длина последующих интервалов будет возрастать. Общая формула их определения такова:

x_i+1 = ; 0 £ i £ k. (6.30)

Количество интервалов k неизвестно, так как оно определяется как точностью e, так и поведением на интервале [a, b]. Однако верхняя оценка для k может быть легко определена по длине наименьшего частичного интервала:

k £ .

Суммировав (6.29), получим составную квадратурную формулу прямоугольников с переменным шагом:

,

где x_i определяется рекуррентно формулами (6.30). Для погрешности R имеет место оценка | R | £ ke.

В общем случае для произвольной функции f(x), если – монотонно возрастающая положительная функция, то частичные интервалы определяются справа налево, т. е. от b к a. Для отрицательной производной и монотонно возрастающей – слева направо от a к b, для убывающей – справа налево от b к a.

В качестве иллюстрации рассмотрим интегрирование f(x) = e^–x/s, s = 10^–2 с точностью e = 10^–4 на каждом частичном интервале, принадлежащем отрезку [0; 1]. По (6.30) определим границы интервалов:

x₀ = 0,0000; x₁ = 0,0062; x₂ = 0,0138; x₃ = 0,0237; x₄ = 0,0374;

x₅ = 0,0590; x₆ = 0,1030; x₇ = 0,2990; x₈ = 1,0000.

Общая погрешность имеет оценку R £ 8×10^–4. Такую погрешность посредством формулы прямоугольников с h = const можно получить, если выбирать шаг h на всем интервале из условия = R, на 721-м частичном интервале

K = .

В общем случае, если на всем интервале [a, b] не удовлетворяет принятому дополнительному ограничению, то:

– сначала следует интервал [a, b] разбить на частичные интервалы, на которых монотонна и знакоопределена;

– затем на каждом из них построить составную квадратурную формулу с переменным шагом по приведенным выше формулам (рис. 6.11).

Аналогичные рассуждения имеют место и для формулы Симпсона с соблюдением монотонности f ^(IV)(x).

Рис. 6.11

Однако следует заметить, что переход к переменному шагу h не всегда оправдан из-за необходимости вычислять и определять ее монотонность и знакоопределенность. Это бывает оправданным только при серийных расчетах.