Другие оценки погрешности

Выбор шага интегрирования по эмпирическим схемам

Двойной пересчет. В связи с тем что вычисления максимального значения по абсолютной величине k-й производной приводят к громоздкости расчетов, на практике прибегают к искусственным приемам достижения заданной точности. А именно, определенный интеграл вычисляют по какой-либо квадратурной формуле дважды с шагом h и h/2, что удваивает число n.

Определяют:

- если | I_n – I₂_n | < e , то I = I₂_n;

- если | I_n – I₂_n | > e , то берут шаг h/4; (6.24)

- если | I_2n – I_4n | < e , то I = I_4n.

В качестве начального шага h можно рекомендовать h = , где m = 2 для формул среднего и трапеций, m = 4 – для формулы Симпсона.

Схема Эйткина. На практике для повышения точности численного интегрирования широко используется схема Эйткина.

Расчеты интегралов проводятся с шагами h₁, h₂ и h₃, при этом соотношение между ними . Получают три значения I₁, I₂ и I₃.

Далее производится уточнение по эмпирической формуле

. (6.25)

Порядок точности r =.

Правило Рунге. Это наиболее популярное практическое правило, разработанное в предположении, что f(x) Î C⁴[a, b] для квадратурных формул прямоугольников и трапеций, f(x) Î C⁶[a, b] – для формулы Симпсона. В этом случае можно показать, что погрешности R(h, f) имеют следующие представления при h ® 0:

(6.26)

Суть правила также состоит в том, чтобы, организовав вычисления двух значений интеграла по двум семействам узлов, сравнить результаты вычислений с оценкой погрешности. Объединив (6.26), можно получить рабочую формулу:

;(6.27)

где k = 2, m = 2 – для формул прямоугольников и трапеций; k = 4, m = 2 – для формулы Симпсона.

1. Приближенной оценкой погрешности могут быть:

– для формул трапеций и прямоугольников;

– для формулы Симпсона.

2. Следует заметить, что эмпирические формулы (6.24), (6.25), (6.27) предполагают и автоматическое изменение шага интегрирования h. Для этой цели имеется другая схема расчета, заключающаяся в следующем.

Анализ составных формул (6.19), (6.20), (6.21) для вычисления интегралов I_П, I_Т, I_С показывает, что точное значение интеграла находится между I_П и I_Т, при этом имеет место соотношение

I_С = (2I_П+ I_Т) / 3. (6.28)

Соотношение (6.28) используется и для контроля погрешности вычисления. Если │I_С – I_Т│ ≥ ε, то шаг уменьшают вдвое и расчет повторяют. Если точность достигнута, то окончательное значение интеграла получают по формуле (6.28).