Выбор шага интегрирования по теоретическим оценкам погрешностей

Выбор шага интегрирования для равномерной сетки

Выбор шага интегрирования состоит в выборе шагаh, обеспечивающего заданную точность e для вычисления интеграла по выбранной формуле численного интегрирования.

Известно два подхода к решению данной задачи:

1) выбор шага h по теоретическим оценкам (6.22);

2) по косвенным схемам (эмпирическим оценкам).

Пусть требуется вычислить интеграл с точностью e. Тогда, используя формулу для R, выбирают шаг так, чтобы

| R | < e/2.

Учитывается также число знаков после запятой, чтобы погрешность округления не превышала e/2.

Пример 6.2. С помощью формулы Симпсона вычислить значение интеграла с точностью e = 10^–3.

Решение. Выберем шаг h.

; x Î [a, b], т. е. x Î [p/4, p/2].

Согласно соотношениям (6.22) получим

< 0,5×10^–3.

Вычислим f ^(IV)(x):

. (6.23)

Оценим | f ^(IV)| на отрезке [p/4, p/2]. Воспользуемся величинами из (6.23) и . Они положительные и убывают, следовательно, их максимальное значение в точке x = p/4.

При этом + < 81. Таким образом, < 0,5×10^–3; h⁴ < 14×10^–4; h £ 0,19.

Однако для данного метода h выбирается с учетом того, чтобы [p/4, p/2] делился на четное число отрезков. Этим двум требованиям отвечает h = p/24 = = 0,13 < 0,19, при котором n = = 6. Тогда, чтобы погрешность округления не превысила 0,5×10^–3, достаточно вычисления выполнить с четырьмя знаками после запятой.

Составим таблицу y = sin x / x с h = p/24 = 7° 30´ = 0,1309:

Для n = 6 по формуле Симпсона

.