Формула Симпсона

Формула трапеций

Составная формула прямоугольников (средних)

Изобразим рассмотренное правило разбивки (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Тогда (6.10) для каждого интервала будет иметь вид

, (6.18)

где x_i £ x_i £ x_i+1, 0 £ i £ n – 1.

Суммирование по i приводит к составной формуле прямоугольников:

I_П = ; (6.19)

где ; x Î [a, b].

Обозначим значение функции f(х) в точках x_i : f_i = f(х_i), i = (рис. 6.6).

Рис. 6.6

Тогда по аналогии с формулой для прямоугольников из (6.12) получим составную квадратурную формулу трапеций:

I_Т = , (6.20)

где , xÎ [a, b].

Разобьем интервал [a, b] на четное число частичных интервалов 2m (рис. 6.7), где 2m = (b – a)/h.

Рис. 6.7

Суммируя (6.16)

,

получаем формулу Симпсона:

I_C = , (6.21)

где , x Î [a, b].

Заметим, что в отличие от простейших формул при оценке их погрешности в составных формулах (6.19), (6.20) и (6.21) нахождение точки x Î [a, b] однозначно неопределенно.

На примере (6.1) можно оценить точный выбор точки x для рассчитанных выше составных формул для интервала [a, b].

Пример 6.1. Вычислить интеграл с помощью трех квадратурных формул и сравнить ответ с точным значением I = e – 1 = 1,7182818.

Возьмем произвольно h = 0,1. Тогда

= 0,1(e^0,05 + e^0,15 + e^0,25 + e^0,35 + e^0,45 + e^0,55 + e^0,65 +

+ e^0,75 + e^0,85 + e^0,95) = 1,7176;

= 0,05[e^0,0 +2(e^0,1 + e^0,2 + e^0,3 + e^0,4 +

+ e^0,5 + e^0,6 + e^0,7 + e^0,8 + e^0,9) + e¹] = 1,7197;

= 0,1/3×[e^0,0 +4(e^0,1 + e^0,3 +

+ e^0,5 + e^0,7 + e^0,9) + 2(e^0,2 + e^0,4 + e^0,6 + e^0,8) + e¹] = 1,7182828.

Точное значение I позволяет определить точки x для формул, соответствующих погрешностям R в (6.19), (6.20), (6.21):

x = 0,365;

x = 0,532;

x = 0,588.

Следовательно, для каждой квадратурной формулы следует выбирать свое x с точки зрения оценки точности, что связано с очевидными расчетными трудностями. Утверждение, что повышение точности вычисления интеграла напрямую связано с уменьшением шага h, также не совсем верно.

Из практики известно, что начиная с некоторого n₀ (рис. 6.8) погрешность вычислений снова начинает увеличиваться по причине округлений малых величин.

Рис. 6.8

В общем случае погрешность интегрирования может быть представлена в виде

,

где Dq_i – абсолютная погрешность весов; Dx_i – абсолютная погрешность узлов; R – погрешность квадратурной формулы.

В связи с вышеизложенным при вычислении интеграла для выбранной формулы численного интегрирования по заданной точности e выбор шага h производится из следующих соображений:

(6.22)

Соотношения (6.22) означают, что шаг h, а следовательно, и число точек n, в которых вычисляется f(x), определяется значением x с наихудшим поведением f(x) с точки зрения погрешности R.

Однако такое правило разбиения интервала интегрирования может приводить к избыточным вычислениям, если f(x) имеет только частные интервалы с ее «плохим» поведением относительно длины отрезка [a, b].

Для примера рассмотрим подынтегра­льную функцию типа f(x) = e^–x/s на отрезке [0, 1] (рис. 6.9) с шагом h =. Очевидно, что согласно (6.22) шаг очень мал для обеспечения заданной точности для всего отрезка [0, 1], т. е. возникает потребность для устранения избыточных вычислений разбивать интервал [a, b] на частичные интервалы различной длины, которая определяется свойствами f(x) и заданной точностью интегрирования.

Таким образом, возникает задача применения простейших квадратурных формул интегрирования с переменным шагом интегрирования на отрезке [a, b].