Составные квадратурные формулы с постоянным шагом

Формула Симпсона

Рассмотрим интервал [– h, h], h > 0 (рис. 6.4). Предположим, что функция f(x) Î C⁴[–h, h], т. е. подынтегральная функция имеет не менее 4-х производных.

Рис. 6.4

Для соотношения (6.7) возьмем три узла: x₀ = x_i_–1 = –h, x₁ = x_i = 0, x₂ = x_i₊₁ = h. Соответствующие им весовые коэффициенты получим из аппроксимации f(x) параболой, построенной на точках (–h, f(–h)), (0, f(0)), (h, f(h)) в виде квадратного многочлена y = ax² + bx + c. Для получения коэффициентов a, b и c построим многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через выбранные точки:

Вычисляем интеграл:

(6.15)

Тогда соотношение (6.7) запишется в виде

. (6.16)

Формула (6.16) называется формулой Симпсона (парабол).

Доказано, что погрешность для формулы Симпсона оценивается соотношением

, xÎ [–h, h]. (6.17)

Из соотношения (6.17) следует, что квадратурная формула Симпсона точна для полиномов третьей степени.

Отметим, что при применении простейших квадратурных формул требуются вычисления значения подынтегральных функций f(x):

а) в одной точке – для формулы прямоугольников;

б) в двух точках – для формулы трапеций;

в) в трех точках – для формулы Симпсона.

Несмотря на малый объем вычислений, область практических применений простейших квадратурных формул ограничена лишь малыми интервалами, поскольку при увеличении h погрешность становится значительной, как видно из формул для погрешностей, что вызывает необходимость использования так называемых составных квадратурных формул.

Итак, если длина интервала [a, b] области определения функции f(x) велика для применения простейших квадратурных формул, то поступают следующим образом:

1) интервал [a, b] разбивают точками x_i, 0 £ i £ n, на n интервалов по некоторому правилу;

2) на каждом частичном интервале [x_i, x_i₊₁] применяют простейшую квадратурную формулу и находят приближенное значение интеграла

0 £ i £ n;

3) из полученных выражений I_i составляют квадратурную формулу для всего интервала [a, b];

4) абсолютную погрешность R составной формулы находят суммированием R_i.

Для реализации данного алгоритма разобьем интервал [a, b] на частичные интервалы [x_i, x_i₊₁] по следующему правилу: x_i₊₁–x_i = h, 0£ i £ n – 1, x₀ = a, x_n = b.

Шаг определяется равенством h = (b – a)/n.