Формула трапеций

Формула прямоугольников

Простейшие квадратурные формулы

Заметим, что при реализации квадратурных формул (6.7) в подавляющем большинстве случаев используется равномерная сетка произвольно выбранных по количеству интерполяционных узлов, что и определяет разные степени используемых интерполяционных многочленов.

Чтобы не иметь дело с интерполяционными многочленами высоких степеней, обычно интервал интегрирования разбивают на отдельные участки, применяют рабочие формулы невысокого порядка на каждом участке и потом складывают результаты расчета и оценочные погрешности.

Приведем квадратурные формулы для одного интервала [х_i, x_i+1], которые впоследствии обобщим на весь интервал [a, b] в виде так называемых составных квадратурных формул.

Пусть рассматривается интервал [–h/2, h/2], где h > 0 (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Предположим, что подынтегральная функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема, т. е. f(x) Î C²[–h/2, h/2]. Тогда соотношение (6.7) запишется в виде

, (6.10)

где взят один узел x = 0 и соответствующий вес q = h.

Полученная квадратурная формула

I = h × f(0) (6.11)

называется формулой прямоугольников для одного шага или формулой средних. Такое название определено, так как это есть площадь прямоугольника с высотой f(0) и основанием h. Из рис. 6.2 видно, что при уменьшении интервала h для гладкой функции f(x) (так как f(x) Î C²[–h/2, h/2]) погрешность R ® 0 при h ® 0. Доказано, что точность результата для (6.10) оценивается формулой

, где x Î [–h/2, h/2].

Заметим, что квадратурная формула (6.11) является точной для полиномов первой степени , так как .

Иногда на интервале [–h/2, h/2] применяют формулы вида I = h×f(–h/2) и I = h×f(h/2) – формулы правых и левых прямоугольников. Они точны только для полиномов нулевой степени, т. е. констант.

Рассмотрим интервал [0, h], h > 0 (рис. 6.3). Предположим, что функция f(x) Î C²[0, h]. Соотношение (6.7) запишем в виде

, (6.12)

где взяты два узла x₀ = 0, x₁ = h и соответствующие веса q₀ = q₁ = h/2.

Рис. 6.3

Получаемая квадратурная формула

(6.13)

называется формулой трапеций для одного шага. Такое название связано с тем, что (6.13) при положительных значениях f(0), f(h) является площадью трапеции с основаниями f(0), f(h) и высотой h.

Доказано, что погрешность для (6.12)

(6.14)

где x – некоторая точка интервала [0, h]. Заметим, что (6.13) так же, как формула прямоугольников, точна для полиномов первой степени.