Постановка задачи

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

При решении многих практических задач часто приходится вычислять значения каких-то функциональных зависимостей y = f(x).

При этом, как правило, имеют место две ситуации.

1. Явная зависимость между значениями х и y на интервале [a, b] отсутствует, а есть только таблица экспериментальных данных {x_i, y_i}, , поэтому возникает необходимость определения y = f(x) на интервале [x_i, x_i_/2] Î [a, b]. К этой задаче относится уточнение таблиц экспериментальных данных.

2. Зависимость y = f(x) известна и непрерывна, но настолько сложна, что не пригодна для практических расчетов. Стоит задача упрощения вычисления значений y = f(x) и ее характеристик (и т. д.). Поэтому с точки зрения экономии времени и материальных ресурсов приходят к необходимости построения функциональной зависимости y = F(x), которая была бы близка к f(x) по основным ее параметрам, но более проста и удобна в реализации при последующих расчетах. То есть ставится задача о приближении (аппроксимации) в области определения функции f(x) функцией F(x). Функцию F(x) называют аппроксимирующей.

Основной подход к решению данной задачи состоит в том, что y = F(x) выбирается зависящей от каких-то свободных параметров эксперимента, т. е. y = F(x) = j(x, c₁, c₂, …, c_n) = j(x, ). Значения вектора выбираются из условий близости для f(x) и F(x).

B зависимости от способа подбора вектора получают различные виды аппроксимации.

Если приближение строится на каком-то дискретном множестве {x_i}, i =, то аппроксимация называется точечной. К ней относится интерполирование, среднеквадратичное приближение (метод наименьших квадратов). Если множество {x_i} непрерывно, например в виде отрезка [a, b], аппроксимация называется непрерывной или интегральной (полиномы Чебышева).

В настоящее время на практике хорошо изучена и широко применяется линейная аппроксимация, при которой j(x, ) выбирается линейно зависящей от параметров в виде так называемого обобщенного многочлена:

F(x) = j(x,) = c₁j₁(x) + c₂j₂(x) + … + c_nj_n(x) = , (5.1)

где j_k(x) – какая-то выбранная линейно независимая система базисных функций, в качестве которых могут быть:

– алгебраическая: 1, x, x², ... , xⁿ, ... ;

– тригонометрическая: 1, sin(x), cos(x), …, sin(nx), cos(nx), …;

– экспоненциальная: e^a⁰^x, e^a¹^x, …, e^aⁿ^x, …; где {a_i} – некоторая числовая последовательность попарно различных действительных чисел.

Важно, чтобы эта система была полной, т. е. обеспечивающей аппроксимацию посредством (5.1) с заданной точностью на всех интервалах [а, b] определения y = f(x).

Для решения большинства практических задач наиболее удобна первая из них (алгебраическая система), представляющая собой в итоге обычные алгебраические многочлены.