Линейная интерполяция

Типовые виды локальной интерполяции

Интерполирование функций

Интерполирование по определению предполагает нахождение промежуточных значений величины, заданной таблицей или графиком, по некоторым ее значениям. Относительно функциональных зависимостей интерполирование является одним из основных видов точечной аппроксимации. Суть интерполирования в данном случае заключается в следующем.

Пусть функция f(х) определена на отрезке [а, b], на котором должна быть обеспечена близость f(х) и j(х). На данном отрезке выбирается система точек, называемых узлами, по правилу

a £ x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n £ b.

Их число равно количеству параметров в (5.1).

Известны значения функции f(х) в этих узлах, т. е.

y_i = f(x_i),

Задача интерполирования согласно (5.1) сводится к подбору многочлена следующего вида:

(5.2)

с действительными коэффициентами с_k, найденными по правилу

, (5.3)

Такой многочлен называют интерполяционным многочленом.

Процедуру (5.2) с использованием условий (5.3) называют глобальной интерполяцией. Если же многочлен (5.2) строится только для отдельных участков отрезка [а, b] (области определения f(х)), т. е. для m интерполяционных узлов, где m < n, то интерполяцию называют локальной.

Матрица системы (5.3) и ее определитель имеют следующий вид:

|G| ¹ 0, (5.4)

так как узлы выбранной системы точек различны. Следовательно, система (5.3) имеет единственное решение, т. е. коэффициенты многочлена (5.2) находятся однозначно.

Заметим, что условие (5.3) обеспечивает близость функций f(х) и F(х) по любой технологии ее получения, т. е. в узлах интерполяции их значения совпадают.

Если (5.2) и (5.3) используются для вычисления значений функции в случае x < x₀ и x > x_n, такое приближение называется экстраполяцией.

Линейная интерполяция состоит в том, что заданные точки таблицы (x_i, y_i), () соединяются прямыми линиями и исходная функция f(х) приближается на интервале [а, b] к ломаной с вершинами в узлах интерполяции. В общем случае частичные интервалы [x_i–1, x_i] Î [a, b] различны. Для каждого отрезка ломаной можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i–1, y_i–1) и (x_i, y_i). В частности, для i-го интервала в виде

.

Тогда рабочую формулу можно записать как

(5.5)

где , .

Из графической иллюстрации (рис. 5.1) видно, что для реализации (5.5) сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x_T, а затем воспользоваться его границами.

Теоретическая погрешность R(x) = f(x) – F(x) ¹ 0 в точках, отличных от узлов:

где М₂ = max, х Î [x_i–1, x_i].

Рис. 5.1

Блок-схема такого алгоритма представлена на рис. 5.2.

Рис. 5.2