Метод Ньютона для системы двух уравнений

Общий случай построения итерирующих функций

Рассмотрим вариант построения итерирующих функций вида (4.4) для системы (4.3) с соблюдением условий (4.6). Запишем их в следующем виде:

j₁(х, у) = x + aF₁(x, y) + bF₂(x, y);

j₂(х, у) = y + gF₁(x, y) + dF₂(x, y).

При этом должно выполняться . Коэффициенты a, b, g, d находятся из решения следующей системы линейных уравнений, которая составлена по требованиям (4.6а):

(4.7)

При таком подборе параметров условие (4.6а) будет соблюдено, если частные производные функций F₁ и F₂ изменяются не очень быстро в окрестности точки (x₀, y₀).

Пример 4.2. Решить нелинейную систему второго порядка:

при х₀ = 0,8 и у₀ = 0,55.

Итерирующие функции будем искать в виде

Для составления системы (4.7) предварительно определим ее компоненты для значений x₀ = 0,8 и y₀ = 0,55:

; ; ; ;

; ; ; –1.

Тогда система (4.7) будет иметь вид

1 + 1,6a + 1,92b = 0; a = –0,3;

1,1a – b = 0; g = –0,5; – ее решение.

1,6g + 1,92d = 0; b = –0,3;

1 + 1,1g – d = 0; d = 0,4;

Следовательно, итерирующие функции имеют вид

по (4.5) строим итерационный процесс.

Пусть дана система

Согласно методу Ньютона последовательные приближения вида (4.5) вычисляются по формулам

; , (4.8)

где

; ; n = 0, 1, 2, ... .

Если якобиан

¹ 0,

то решение будет единственным.

Начальные значения x₀ и y₀ определяются грубо (приближенно – графически или «прикидкой»). Данный метод эффективен только при достаточной близости начального приближения к истинному решению системы.

Пример 4.3. Найти решение системы

Графическим путем можно найти приближенно x₀ = 1,2 и y₀ = 1,7.

Вычислим значение якобиана в начальной точке (x₀, y₀ ): = 97,910.

Далее по формулам (4.8) получаем:

= 1,2 + 0,0349 = 1,2349;

= 1,7 – 0,0390 = 1,6610.

Продолжив процесс вычисления при x₁ и y₁, получим x₂ = 1,2343; y₂ = 1,6615 и т. д. до достижения желаемой точности.

4.4. Метод Ньютона для систем n-го порядка с n неизвестными

Для метода Ньютона функции F_i = (x₁, x₂, ..., x_n) из (4.1) раскладываются в ряд Тэйлора с отбрасыванием производных второго порядка и выше.

Пусть известен результат предварительной итерации: при решении (4.1) дает результат для = (a₁, a₂, ..., a_n).

Задача сводится к нахождению поправок этого решения: Dx₁, Dx₂, ..., Dx_n.

Тогда при очередной итерации решение будет следующим:

x₁ = a₁ + Dx₁; x₂ = a₂ + Dx₂; …, x_n = a_n + Dx_n. (4.9)

Для нахождения Dx_i разложим F_i (x₁, x₂, ..., x_n) в ряд Тейлора:

(4.10)

Приравняем правые части согласно (4.1) к нулю и получим систему линейных уравнений относительно Dx_i:

(4.11)

Значения F₁, F₂, …, F_n и их производных вычисляются при x₁ = a₁, x₂ = a₂, ..., x_n = a_n. Расчет ведется с учетом (4.9) по (4.10) и (4.11). Процесс прекращается, когда max|Dx_i| < e. При этом будет иметь место единственное решение системы, если якобиан

.

По сходимости этот метод выше метода простой итерации.