Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка

Метод простой итерации

Постановка задачи

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Многие практические задачи сводятся к решению систем нелинейных уравнений с n неизвестными:

(4.1)

В отличие от линейных систем прямых методов решения систем нелинейных уравнений нет, за исключением систем второго порядка, когда одно неизвестное может быть выражено через другое.

Наиболее распространены два метода: метод простой итерации и метод Ньютона.

Система (4.1) должна быть представлена в следующем виде:

(4.2)

где называются итерирующими функциями.

Алгоритм решения аналогичен алгоритму Зейделя или алгоритму простой итерации для решения систем линейных уравнений.

Пусть известен начальный вектор решения x_i = a_i, i = 1, 2, …, n, тогда

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока изменение всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станет меньше заданного значения e.

Начальные значения должны быть близкими к истинным значениям, иначе итерационный процесс может не сойтись. Поэтому стоит проблема их отыскания (т. е. условий сходимости). В случае расходимости (несходимости) в блок-схеме алгоритма срабатывает механизм ограничения числа итераций.

Рассмотрим систему из двух уравнений общего вида:

(4.3)

Нужно найти действительные корни x и y с заданной степенью точности e.

Предположим, что данная система имеет корни и их можно установить. Итак, для применения метода простой итерации систему (4.3) нужно привести к виду

(4.4)

где j₁ и j₂ – итерирующие функции. По ним и строится итерационный процесс решения в виде

n = 0, 1, 2, …, (4.5)

где при n = 0 x₀ и y₀ – начальные приближения.

Имеет место следующее утверждение: пусть в некоторой замкнутой области R(a £ x £ A; b £ y £ B) имеется одно и только одно единственное решение: x = g; y = b, тогда:

1) если j₁(x, y) и j₂(x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в области R;

2) если начальное решение x₀, y₀ и все последующие решения x_n, y_n также принадлежат области R;

3) если в R выполняются неравенства

(4.6)

или равносильные неравенства

(4.6а)

то итерационный процесс (4.5) сходится к определенным решениям, т. е.

Оценка погрешности n-го приближения дается неравенством

,

где М – наибольшее из чисел q₁ или q₂ в соотношениях (4.6) и (4.6а). Сходимость считается хорошей, если М < 1/2. Если совпадают три значащие цифры после запятой в соседних приближениях, то обеспечивается точность e = 10^–3.

Пример 4.1. С заданной точностью решить нелинейную систему второго порядка:

Запишем систему в виде (4.4):

Рассмотрим квадрат 0 £ x £ 1; 0 £ y £ 1. Если взять х₀ и у₀ из этого квадрата, тогда

Из анализа вида j₁ и j₂ определим область нахождения их компонент при х = у = 1 в заданном квадрате.

Для j₁(х, у): , а для j₂(х, у): –< , поэтому при любом выборе (x₀, y₀) последовательность (x_k, y_k) останется в прямоугольнике:

; ,

так как 1/3 + 1/2 = 5/6, 1/3 – 1/6 = 1/6, 1/3 + 1/6 = 1/2. Тогда для точек этого прямоугольника

;

.

Условия (4.6) удовлетворяются, следовательно, система может быть решена по методу простых итераций.

Полагаем х₀ = 1/2, у₀ = 1/2, тогда

х₁ = ; у₁=.

Вторая итерация: ; ; х₃ = 0,533; у₃ = 0,351. Вычисляем дальше х₄ = 0,533; у₄ = 0,351 - эти значения и являются ответом.