Метод максимизации столбцов
Пусть A=(akp) – вещственная, квадратная матрица порядка n.
Обозначим как ap – pый столбец матрицы.
Заметим, что
;
.
Рассмотрим матрицу простого поворота Up:
u11 = upp= c =cosα, -up1 = u1p= -s = - sinα, остальные диагональные элементы равны 1, а недиагональные – нулю. Из ранее доказанного матрица Up осуществляет поворот на угол α против часовой стрелки.
Рассмотрим матрицу B=AUp=(bij).
В ней: b1 = ca1+sap, bp = -sa1+cap. Остальные столбцы совпадают со столбцами А.
Свойство 1 ![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559885536874.files/image646.gif)
Доказательство
Действительно:
![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559885536874.files/image648.gif)
.
Отсюда
.
Что и требовалось доказать.
Выберем угол α в матрице Up так, чтобы | b1 | был максимален.
Рассмотрим функцию ![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559885536874.files/image653.gif)
Тогда
.
Обозначим α=αp: f ’(α)=0. Будем выбирать αp по правилу:
а)если
, то ![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559885536874.files/image659.gif)
б)иначе αp находится из равенства ![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559885536874.files/image661.gif)
в) заметим, что αp=0 тогда и только тогда, когда
.
Свойство 2Если | a1|≥| ap|, то | b1|≥| a1|≥| ap|≥| bp| и | b1|>| a1| при
.
Доказательство
Действительно:
1) Пусть
. Тогда
и
.
Следовательно, из определения f(α):
.
Отсюда:
![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559885536874.files/image671.gif)
и | b1|>| a1| при
.
2) Пусть
.
Рассмотрим функцию
.
Т.к.
,
, a
, то
f ’’(αp)≤0, т.е. αp – локальный максимум (
) и общий максимум функции на
.
Следовательно,
.
Что и требовалось доказать.
Свойство 3 Если | a1|≥| ap|, то
, т.е. новые столбцы ортогональны.
Доказательство
Действительно:
![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559885536874.files/image691.gif)
Что и требовалось доказать.