Степенной метод

Вариационный метод

Частная спектральная задача

Сопряженная матрица

Рассмотрим вещественную матрицу A=(a_ij). Тогда сопряженная к ней в пространстве Rⁿ матрица: A*=(a*_ij)=A^T.

В пространстве Rⁿ A – линейный оператор; А* - сопряженный к нему.

Образ Im A – область значений оператора А: Im A= A(Rⁿ).

Ядро ker A – множество элементов, обращаемых оператором А в ноль:

ker A={x | Ax=0}.

Im A, ker A – подпространства пространства Rⁿ.

Задача: доказать указанное выше утверждение.

Лемма .

Доказательство

Im A – подпространство пространства Rⁿ. Обозначим как L его ортогональное дополнение (множество всех элементов из Rⁿ, ортогональных каждому элементу из Im A). Тогда . Докажем, что L=ker A.

Т.е. .

Т.е. .

Что и требовалось доказать.

Частная спектральная задача – задача нахождения некоторых собственных чисел матрицы и соответствующих собственных векторов.

Пусть А – симметричная матрица. Найдем её максимальное собственное число. Т.к. из ранее доказанного , то задача сводится к нахождению стационарных точек функционала .

Для матрицы А предположим, что:

а) её собственные вектора φ₁… φ_n образуют базис в Rⁿ.

б) её собственные числа удовлетворяют неравенствам | λ₁ |>| λ_k|, k=2..n.

Тогда всякий вектор х из Rⁿ может быть представим в виде: .

Построим последовательность векторов:

x⁽¹⁾=Ax, x⁽²⁾=Ax⁽¹⁾…x^(m)=Ax^(m-1)=A^mx.

Значит, . Преобразуем правую часть равенства:

при m>>1,

т.к. тогда .

Получим, что:

,

а - соответствующий собственный вектор

(т.к. он определяется с точностью до скалярного множителя).

Знак λ₁ найдем из следующего равенства:

- знак находится по первой компоненте.

Точность метода: .