русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Алгоритм сингулярного разложения


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 1096; Нарушение авторских прав


Пусть дана матрица A=(aij). Рассмотрим матрицу A1=AU1, где U1 – ортогональная матрица перестановки столбцов: первый столбец матрицы А1 максимален.

Рассмотрим последовательность матриц: Ak+1=AkUp(k) , k=1,2…,

где p(k) – номер столбца (= 2,3..n; 2,3..);

Up(k) – матрица простейшего поворота:

u11 = up(k)p(k)= c =cosα, -up(k)1 = u1p(k)= -s = - sinα,

остальные диагональные элементы равны 1,

а недиагональные – нулю.

Т.е. у всех Ak первый столбец максимальный, у всех Ak+1 первый столбец ортогонален p(k+1). При этом сумма квадратов сохраняется.

Обозначим . Действительно, тогда .

Отсюда следует лемма:

Лемма 1 Последовательность норм первых столбцов матриц сходится.

Доказательство

По Свойству 2 предыдущего пункта последовательность не убывает.

А из сохранения суммы квадратов она ограничена, а значит сходится.

 

ЗамечаниеОтсюда не следует сходимость векторов .

 

Лемма 2Последовательность матриц {Ak} сходится поэлементно при k→∞ (без доказательства).

Т.е. . Эта матрица обладает следующими свойствами:

1)первый столбец наибольший по модулю

2)первый столбец ортогонален всем остальным.

Действительно, предположим противное . Умножим на Up1, получим требуемое.

Таким образом, получен алгоритм сингулярного разложения.

Пусть матрица А nого порядка. Построим последовательность Ak→A.

1.Обозначим как в процессе максимализации первого столбца. Т.о. первый столбец макимален и ортогонален всем остальлным.

2.Максимизируем второй столбец матрицы с помощью последующих, не изменяя первый. Полученная последовательность матриц сходится к некоторой матрице .

3.И т.д.

n-1. Максимизируем (n-1)ый столбец у матрицы . Получим матрицу с монотонными нормами и взаимоортогональными столбцами.

Запишем полученную матрицу в виде: , где ортогональная матрица V есть произведение ортогональных матриц.



Обозначим нормы столбцов матрицы как Sk.

Получим , где W – ортогональная матрица.

Таким образом, AV = WS, т.е. A = WSVT – SVD-разложение.

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Максимизация первого столбца | 


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.002 сек.