русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Сингулярное разложение матрицы


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 2249; Нарушение авторских прав


Третий шаг

Второй шаг

Первый шаг

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду

Из теорем алгебры:

Любое собственное число λ произвольной матрицы А равно скалярному произведению (Ax,x), где x – некоторый вектор: || x ||=1.

 

Пусть λ1 – максимальное собственное число матрицы А, т.е. .

Обозначим как y1 – собственный вектор матрицы А, отвечающий λ1: || y1 ||=1.

Обозначим как Ln-1 – подпространство, ортогональное подпространству, образованному вектором y1 (т.к. dim {y1}=1, то dim Ln-1=n-1).

 

Очевидно, что Ln-1 инвариантное подпространство для А (т.е. если , то ).

Действительно, пусть

Обозначим . Тогда из Леммы 2:

.

Т.о. y2 – собственный вектор матрицы А, ортогональный y1.

 

Будем рассматривать далее подпространство , повторим указанные в шаге два рассуждения.

 

В итоге получим набор собственных векторов матрицы А {yk}: || yk ||=1, ортогональных друг другу, соответствующих собственным числам {λk}.

Обозначим матрицу собственных векторов как:

.

Получим систему: Y.

Очевидно, что У – ортогональная матрица, т.к. ее столбцы нормированны и ортогональны друг другу.

Тогда запишем систему в виде: YTAY=diag(λ1… λn) или A=Ydiag(λ1… λn)YT.

Геометрически это означает, что:

Всякая симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду, т.е. в некотором базисе соответствующий оператор представляется диагональной матрицей, а значит его действие состоит в растягивании на величину λк соответствующего базисного вектора. Базис состоит из собственных векторов, т.е. диагональная матрица нетривиальна.

 

 

Пусть А – вещественная матрица. Тогда AAT, ATA – симметричные матрицы, а значит они могут быть приведены к диагональному виду.



Обозначим AAT=UЛUT, ATA=VЛVT,

где U,V – ортогональные матрицы, Л – диагональная.

 

ЛеммаСобственные числа матриц AAT, ATA равны и неотрицательны.

Доказательство

1. Пусть λi – некоторое собственное число матрицы ATA.

Тогда . Умножим скалярно равенство на xi:

2. Обозначим собственные числа матриц ATA, AAT соответственно.

Таким образом матрицы Л для AAT, ATA совпадают.

Что и требовалось доказать.

 

Заметим, что если матрица А невырожденная, то её собственные числа больше нуля.

 

Обозначим как Тогда:

.

Обратная к матрица имеет вид: .

Обозначим . Тогда:

.

Таким образом, получено: .

Умножим на B-1 справа: .

 

Для всякой вещественной матрицы А существует её сингулярное разложение, т.е. представление в виде: A=USW,

где U,W – ортогональные матрицы, S=diag(s1..sn), si≥0, i=1..n.

 

Задача: Доказать, что - сингулярное разложение матрицы А.

 

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Вариационное свойство собственных значений | Степенной метод


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.002 сек.