Сингулярное разложение матрицы

Третий шаг

Второй шаг

Первый шаг

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду

Из теорем алгебры:

Любое собственное число λ произвольной матрицы А равно скалярному произведению (Ax,x), где x – некоторый вектор: || x ||=1.

Пусть λ₁ – максимальное собственное число матрицы А, т.е. .

Обозначим как y¹ – собственный вектор матрицы А, отвечающий λ₁: || y¹ ||=1.

Обозначим как L_n_-1 – подпространство, ортогональное подпространству, образованному вектором y¹ (т.к. dim {y¹}=1, то dim L_n_-1=n-1).

Очевидно, что L_n_-1 инвариантное подпространство для А (т.е. если , то ).

Действительно, пусть

Обозначим . Тогда из Леммы 2:

Т.о. y² – собственный вектор матрицы А, ортогональный y¹.

Будем рассматривать далее подпространство , повторим указанные в шаге два рассуждения.

В итоге получим набор собственных векторов матрицы А {y^k}: || y^k ||=1, ортогональных друг другу, соответствующих собственным числам {λ_k}.

Обозначим матрицу собственных векторов как:

Получим систему: Y.

Очевидно, что У – ортогональная матрица, т.к. ее столбцы нормированны и ортогональны друг другу.

Тогда запишем систему в виде: Y^TAY=diag(λ₁… λ_n) или A=Ydiag(λ₁… λ_n)Y^T.

Геометрически это означает, что:

Всякая симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду, т.е. в некотором базисе соответствующий оператор представляется диагональной матрицей, а значит его действие состоит в растягивании на величину λ_к соответствующего базисного вектора. Базис состоит из собственных векторов, т.е. диагональная матрица нетривиальна.

Пусть А – вещественная матрица. Тогда AA^T, A^TA – симметричные матрицы, а значит они могут быть приведены к диагональному виду.

Обозначим AA^T=UЛU^T, A^TA=VЛV^T,

где U,V – ортогональные матрицы, Л – диагональная.

ЛеммаСобственные числа матриц AA^T, A^TA равны и неотрицательны.

Доказательство

1. Пусть λ_i – некоторое собственное число матрицы A^TA.

Тогда . Умножим скалярно равенство на xⁱ: