Вариационное свойство собственных значений

Матрица элементарного поворота

Представление матрицы-оператора в другом базисе

Из теорем линейных операторов:

1)Всякой матрице А можно сопоставить некоторый линейный оператор

Ω: x→y=Ax

2)Всякий линейный ограниченный оператор в Rⁿ представим в виде матрицы.

Рассмотрим некоторый ортонормированный базис и найдем представление в нем матрицы А.

Пусть x=(x₁..x_n)^T в базисе .

Т.е. .

Рассмотрим оператор Ω: x→y в . Т.е. оператор (β – оператор Ω в новом базисе).

- представление матрицы А в базисе .

Рассмотрим матрицу элементарного поворота в двух пространствах:

1)в пространстве R²:

Рассмотрим матрицу, где с=cosα, s=sinα .

Тогда .

Докажем, что U – ортогональная матрица:

;

А следовательно, U – ортогональная матрица.

Задача: доказать, что линейный оператор φ, соответствующий матрице U, есть оператор поворота на угол α.

2) в пространстве Rⁿ:

Рассмотрим матрицу, где с=cosα, s=sinα .

Т.е. u_pp = u_qq = c, u_pq = - u_qp = s, u_ii = | i≠p,q | =1, u_ij = | i,j≠p,q | = 0.

Задача: доказать, что линейный оператор Φ, соответствующий матрице U, есть оператор поворота на угол α в n-мерном пространстве.

Матрица А неотрицательно определена, если .

ЛеммаСобственные числа неотрицательно определенной матрицы неотрицательны.

Доказательство

Пусть А – неотрицательно определенная матрица, λ₁ – её собственное число.

Тогда .

Т.к. .

Что и требовалось доказать.

Матрица А симметричная, если .

Лемма 1Если А симметрична, неотрицательно определена и (Ay,y)=0, то Ay=0. Геометрически: А не может сделать вектор у ортогональным самому себе, а может лишь обратить его в ноль.

Доказательство

Рассмотрим выражение (A(y+tz),y+tz),

где z – произвольный вектор;

t – вещественное, малое число (t<<1).

Если бы (Ay,z)≠0, то знак всего выражения можно было бы сделать отрицательным, выбирая знак t, что противоречило бы условию неотрицательной определенности А.

Значит, (Ay,z)=0.

Т.к. элеент z выбирался произвольно, то Ay=0.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим выражение: .

Функция n переменных F(y)=(Ay,y) непрерывна на единичной сфере . Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса F(y) достигает на S₁ своих точных граней. Это означает, что .

Лемма 2 (вариационное свойство)Если А – симметричная матрица, то - собственное число матрицы А.

Доказательство

Из приведенных выше рассуждений и достигается в некоторой точке .

Т.к. , то || y ||=1, а значит .

Получим: . (*)

Из выбора точку y’ верно: (Ay,y)≤λ₁ для любого вектора y из S₁.

Т.е. Последнее утверждение верно и для любого вектора x из пространства Rⁿ. Т.е. - неотрицательно определенная матрица.

Следовательно, из (*), используя Лемму 1, получим:

, т.е. λ₁ – собственное число матрицы А.

Что и требовалось доказать.