русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Вариационное свойство собственных значений


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 911; Нарушение авторских прав


Матрица элементарного поворота

Представление матрицы-оператора в другом базисе

Из теорем линейных операторов:

1)Всякой матрице А можно сопоставить некоторый линейный оператор

Ω: x→y=Ax

2)Всякий линейный ограниченный оператор в Rn представим в виде матрицы.

 

Рассмотрим некоторый ортонормированный базис и найдем представление в нем матрицы А.

Пусть x=(x1..xn)T в базисе .

Т.е. .

Рассмотрим оператор Ω: x→y в . Т.е. оператор (β – оператор Ω в новом базисе).

- представление матрицы А в базисе .

Рассмотрим матрицу элементарного поворота в двух пространствах:

1)в пространстве R2:

Рассмотрим матрицу, где с=cosα, s=sinα .

Тогда .

Докажем, что U – ортогональная матрица:

;

А следовательно, U – ортогональная матрица.

Задача: доказать, что линейный оператор φ, соответствующий матрице U, есть оператор поворота на угол α.

2) в пространстве Rn:

Рассмотрим матрицу, где с=cosα, s=sinα .

Т.е. upp = uqq = c, upq = - uqp = s, uii = | i≠p,q | =1, uij = | i,j≠p,q | = 0.

Задача: доказать, что линейный оператор Φ, соответствующий матрице U, есть оператор поворота на угол α в n-мерном пространстве.

 

Матрица А неотрицательно определена, если .

ЛеммаСобственные числа неотрицательно определенной матрицы неотрицательны.

Доказательство

Пусть А – неотрицательно определенная матрица, λ1 – её собственное число.

Тогда .

Т.к. .

Что и требовалось доказать.

Матрица А симметричная, если .

Лемма 1Если А симметрична, неотрицательно определена и (Ay,y)=0, то Ay=0. Геометрически: А не может сделать вектор у ортогональным самому себе, а может лишь обратить его в ноль.

Доказательство

Рассмотрим выражение (A(y+tz),y+tz),



где z – произвольный вектор;

t – вещественное, малое число (t<<1).

Если бы (Ay,z)≠0, то знак всего выражения можно было бы сделать отрицательным, выбирая знак t, что противоречило бы условию неотрицательной определенности А.

Значит, (Ay,z)=0.

Т.к. элеент z выбирался произвольно, то Ay=0.

Что и требовалось доказать.

 

Рассмотрим выражение: .

Функция n переменных F(y)=(Ay,y) непрерывна на единичной сфере . Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса F(y) достигает на S1 своих точных граней. Это означает, что .

 

 

Лемма 2 (вариационное свойство)Если А – симметричная матрица, то - собственное число матрицы А.

Доказательство

Из приведенных выше рассуждений и достигается в некоторой точке .

Т.к. , то || y ||=1, а значит .

Получим: . (*)

Из выбора точку y’ верно: (Ay,y)≤λ1 для любого вектора y из S1.

Т.е. Последнее утверждение верно и для любого вектора x из пространства Rn. Т.е. - неотрицательно определенная матрица.

Следовательно, из (*), используя Лемму 1, получим:

, т.е. λ1 – собственное число матрицы А.

Что и требовалось доказать.

 

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Ортогональные матрицы | Сингулярное разложение матрицы


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.002 сек.