русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Ортогональные матрицы


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 994; Нарушение авторских прав


Ортогональные матрицы

Некорректность спектральной задачи

Глава4. Алгебраическая проблема собсвенных значений

Постановка задачи

Пусть A=(aik) – вещественная матрица порядка n×n пространства Rn. Элементы пространства Rn имеют вид: x=(x1..xn)T.

Скалярное произведение векторов в Rn: .

Норма вектора в пространстве Rn: .

 

Число λ – собственное числоматрицы А, если существует нетривиальный вектор x1≠0: Ax=λx. При этом x1собственный вектор А. (1)

Множество всех собственных чисел матрицы – её спектр.

 

Спектральная задача– задача нахождения всех или нескольких собственных чисел матрицы и, возможно, соответствующих им собственных векторов.

 

Пусть λ1 – собственное число матрицы А. Перепишем уравнение (1) в виде:

.

 

Многочлен вида: - характеристический многочленматрицы А.

Т.о. если λ – собственное число матрицы А, то λ – корень характеристического многочлена матрицы А. Верно и обратное.

 

УтверждениеЛюбая матрица А порядка n×n имеет хотя бы один собственный вектор и имеет n собственных чисел (могут быть как различными, так и кратными).

 

Из сказанного: задача нахождения собственных чисел матрицы А сводится к задаче нахождения корней её характеристического многочлена, т.е. решения уравнения Pn(λ) = 0.

 

При исследовании спектральной задачи было выяснено, что она неустойчива. Приведем пример. Рассмотрим матрицу порядка 20×20:

, где ε – малое возмущение нулевого элемента.

Характеристический многочлен матрицы А имеет вид: .

Рассмотрим два случая:

1)ε=0 Тогда младший коэффициент Pn(λ) a0=20!≈2,5×1018. Собственные числа матрицы А λk=1..20.



2) - малое число.

При этом a0=0 и возникает новое собственное число матрицы А λ=0.

Т.о. как коэффициенты, так и корни характеристического многочлена могут быть очень чувствительны к малым погрешностям матричных элементов, что означает слабую устойчивость спектральной задачи.

 

 

Рассмотрим два ортонормированных базиса в пространстве Rn: . Т.е. .

Разложим вектора второго базиса по векторам первого:

Обозначим как U=(uik).

Рассмотрим скалярное произведение:

Таким образом, сумма Cik трактуется как произведение iой строки матрицы U на kый столбец матрицы UT. C другой стороны, из свойств ортонормированного базиса матрица C=(cik)=E.

Отсюда получим: UUT=E или UTU=E.

 

Из выведенных формул следуют равенства:

1) U-1 = UT (из определения обратной матрицы)

2)(Ux,Uy) = (x,y) для любых векторов x,y из Rn (т.е. скалярные произведения векторов и их образов относительно U совпадают).

Действительно, (Ux,Uy) = (UUTx,y) = (x,y)

3)Отсюда в частности следует: || x || = || Ux ||

Действительно, .

 

Матрица V, удовлетворяющая любому из этих трех равенств, ортогональная.Она обладает следующими свойствами:

1)переводит ортогональный базис в ортонормиррованный

2)сохраняет углы между векторами, а также их нормы

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Правило Рунге практической оценки погрешности | Вариационное свойство собственных значений


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.002 сек.