русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Правило Рунге практической оценки погрешности


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 2132; Нарушение авторских прав


Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний)

Всякий интеграл можетбыть сведен линейной заменой масштабов к интегралу вида , где 0≤f(x)≤1.

 

Из теории вероятностей:

1)случайная величина ξ равномерно распределена на [0;1], если . В частности .

2)двумерная случайная величина (ξ ,η) равномерно распределена на [0;1]×[0;1], если . При этом если ξ ,η равномерно распределены на [0;1], то (ξ ,η) равномерно распределена на [0;1]×[0;1].

Таким образом, для вычисления интеграла (т.е. для вычисления заштрихованной области) достаточно определить вероятность того, что точка (x,y) попадет в эту площадь (область, где (x,y) – равномерно распределенная случайная величина).

В ЭВМ существует датчик псевдослучайных чисел, значениями которого являются случайные числа, равномерно распределенные на [0;1].

 

Алгоритм:

1)генерируются равномерно распределенные на [0;1] случайные числа ξk , ηk

2)вычисляется f(ξk)

3)сравнивается f(ξk) и ηk и подсчитывается число N неравенств f(ξk) > ηk, k=1..M.

При достаточно большом числе испытаний M>>1 .

Ответ, полученный с помощью данного метода носит вероятностный характер и может сколь угодно сильно отличаться от точного значения интеграла. Однако с вероятностью 99,7% ошибка не превосходит (- дисперсия от среднеарифметического). При реальных испытаниях ошибка обычно не превосходит. С увеличением числа испытаний погрешность ответа будет убывать римерно как .

 

 

Величины погрешности численного интегрирования зависит как от шага h, так и от гладкости подинтегральной функции. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке [xk-1;xk]. Для этого необходимо уметь апостериорно (т.е. после проведения расчета) оценивать погрешность. Правило Рунге позволяет произвести такую оценку.



Представим интеграл в виде приближенной формулы:

Заметим, что S и R зависят от шага h, т.е. от числа точек разбиения n. Тогда S=Sn, R=Rn.

Будем считать, что дана априорная погрешность (предполагаемая):

Если С известно, то можно заранее для нужной точности указать число точек разбиения и т.п.

Если же С неизвестно, то используют правило Рунге:

1.Производят 2 вычисления приближенного значения интеграла при n=n1 и n=n2 (обычно n2=2n1).

2.Таким образом, будет получено:

I=Sn1+Rn1; I=Sn2+Rn2

Вычитая из первого равенства второе, получим:

Отсюда, .

Подставим C в Rn1 и Rn2:

При этом выражение .

Таким образом, , т.к. невелико (обычно , а=2).

 

Это и есть правило Рунге:

В выбранной квадратурной формуле берется некоторое число точек разбиения n1 и вычисляетя соответствующее ему значение интеграла.

Затем вычисляется приближенное значение, соответствующее числу точек разбиения n2>n1. Если модуль разности между ними не превышает требуемой точности, то вычисления останавливаются. В противном случае, процедуру необходимо повторить.

В качестве ответа обычно берут Sn2 или линейную комбинацию Sn1, Sn2.

 

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Применение квадратурных формул | Ортогональные матрицы


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.002 сек.