Применение квадратурных формул

Постановка задачи

Т.к. априорно треуется высокая гладкость функции, и вычисление интерполяционного многочлена сложно, а также сложно увеличивать число узлов (т.е. уменьшать шаг), то для вычисления интеграла используется следующий метод.

Отрезок [a;b] разбивается на узлы a=x₀<..<x_n=b (для простоты шаг h постоянен). Следовательно, исходный интеграл разбивается на сумму интегралов: .

Теперь достаточно построить интерполяционную квадратурную формулу для интеграла на малом отрезке [x_k-1;x_k], т.е. более низкого порядка m, чем для интеграла по всему отрезку [a;b].

1.Метод прямоугольников (m=0)

На отрезке [x_k-1;x_k] функция f(x) заменяется по некоторому определенному значению (по f(x_k-1) – метод левых; по f(x_k) – метод правых; по f((x_k + x_k-1)/2) – метод cрединных прямоугольников) многочленом P₀(x,k).

Рассмотрим метод левых прямоугольников.

Применяется квадратурная формула:

, где h=x_k –x_k-1.

Получим общую квадратурную формулу:

Оценим погрешность данного метода. Вообще в задаче алгебраической интерполяции f(x) многочленом Р_n(x) погрешность R_n(x) имеет вид O(hⁿ⁺¹)

1)Локальная погрешность аппроксимации

для многочлена Р₀(х): R₀(x)=O(h¹)

2) Локальная погрешность интегрирования

3) Общая погрешность интегрирования

Т.е. метод прямоугольников - первого порядка точности.

2. Метод трапеций (m=1)

На отрезке [x_k-1;x_k] функция f(x) заменяется по значениям в узлах x_k-1, x_k многочленом P₁(x,k).

Общая формула:

Погрешность:

1)O(h²) для Р₁(х)

2)

3)

Т.е. метод - второго порядка точности.

3. Метод парабол (m=2)

На отрезке [x_k-1;x_k] функция f(x) аппроксимируется параболой. Для этого берутся значения функции в точках x_k-1, x_{k ,} (x_k + x_k-1)/2).

Обозначим интерполяционный полином как P₂(x,k).

Тогда:

.

Оценим погрешность данного метода.

1)Локальная погрешность аппроксимации

для многочлена Р₂(х): R₂(x)=O(h³)

2) Локальная погрешность интегрирования

3) Общая погрешность интегрирования

Т.е. метод прямоугольников - третьего порядка точности.

Коэффициенты a_1k, a_2k и a_3k можно найти, воспользовавшись представлением функции приближенно в виде интерполяционнго многочлена Лагранжа:

_.