русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Ортогональные многочлены и их свойства


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 1173; Нарушение авторских прав


Интерполяционные квадратурные формулы наилучшей алгебраической точности

Постановка задачи

В предыдущем пункте было доказано, что используя n узлов интерполяции функции f(x), можно получить квадратурные формулы, точные для многочленов степени , не превосходящей (n-1).

Необходимо построить такую квадратурную формулу, которая при заданном n была бы точна для алгебраического многочлена возможно большей степени (квадратурная формула улучшенной алгебраической точности).

 



Докажем их существование и точность для любого многочлена степени,не превосходящей (2n-1).

 



Теорема 2Квадратурная формула (1) точна для любого многочлена Pk(x),

k ≤ (2n-1) тогда и только тогда, когда

1)она – интерполяционная;

2)ωn(x) ортогональна с весом q(x) любому многочлену степени k ≤ (n-1).

Доказательство

Пусть формула (1) точна для любого многочлена Pk(x), k ≤ (2n-1).

Тогда выполняются условие Теоремы 1.

Рассмотрим многочлен P2n-1n(x)Pn-1(x)+Qn-1(x): P2n-1(xk)= Qn-1(xk), k=1..n.

По условию , где Ak вычисляются по формуле (2).

С другой стороны, .

Полученные формулы верны для любых многочленов степени, не превосходящей (n-1), в частности и для Qn(x)≡0. Тогда получим:

.

Пусть выполняются условия 1), 2). Пусть P2n-1 – произвольный многочлен степени (2n-1). Тогда он представим в виде:

P2n-1n(x)pn-1(x)+qn-1(x) и P2n-1(xk)= qn-1(xk), k=1..n.

 



Следовательно, .

Первое слагаемое равенства равно 0 из условия 2).

Второе слагаемое равняется из Теоремы 1: , где Ak вычисляются по формуле (2).

Что и требовалсь доказать.

Многочлены Sn(x), n=0,1… ортогональны на (a;b) с весом q(x)≥0,если:

.

 



Ортогональные многочлены обладают следующими свойствами:

 



10.Всякий многочлен Pn(x) может быть представлен в виде , где Ck – коэффициенты разложения.

Доказательство

Докажем существование таких коэффициентов Ck.

Умножим последнее равенствоскалярно на qSm, m=0,1..n. Получим:

Единственность такого разложения следует из построения.

Что и требовалось доказать.

 



20.Всякий многочлен Pn ортогонален Sm с весом q(x), если n<m.

Доказательство

Пусть n<m.

Из свойства 1 многочлен Pn(x) представим в виде:

.

Умножим скалярно равенство на q(x)Sm(x). Получим: .

Что и требовалось доказать.

 



 



30.Sn(x) имеет на [a;b] все n нулей, более того все они – простые.

Доказательство

Предположим, что Sn(x) имеет на [a;b] лишь k<n нулей, которые являются простыми (x1..xk).

Тогда многочлен вида не меняет знак на [a;b], а значит .

С другой стороны, многочлен имеет степень k<n, а значит по свойству 2:

Противоречие доказывает требуемое.

 



 



Таким образом, выбирая для квадратурной формулы xk как нули многочлена степени n из некоторой ортогональной системы многочленов на [a;b], получим выполнение условия 2) Теоремы 2 (из свойства 2 ортогональных многочленов). А значит, интерполяционная квадратурная формула становится формулой наилучшей алгебраической точности.

 



Например, если необходиом найти интеграл на [-1;1], то узлы выгодно рассматривать, равные нулям многочлена Чебышева. Тогда интеграл примет вид:

. Вместо функции f(x) будем рассматривать функцию в квадратурной формуле.



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Интерполяционные квадратурные формулы | Применение квадратурных формул


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.002 сек.