Ортогональные многочлены и их свойства

Интерполяционные квадратурные формулы наилучшей алгебраической точности

Постановка задачи

В предыдущем пункте было доказано, что используя n узлов интерполяции функции f(x), можно получить квадратурные формулы, точные для многочленов степени , не превосходящей (n-1).

Необходимо построить такую квадратурную формулу, которая при заданном n была бы точна для алгебраического многочлена возможно большей степени (квадратурная формула улучшенной алгебраической точности).

Докажем их существование и точность для любого многочлена степени,не превосходящей (2n-1).

Теорема 2Квадратурная формула (1) точна для любого многочлена P_k(x),

k ≤ (2n-1) тогда и только тогда, когда

1)она – интерполяционная;

2)ω_n(x) ортогональна с весом q(x) любому многочлену степени k ≤ (n-1).

Доказательство

Пусть формула (1) точна для любого многочлена P_k(x), k ≤ (2n-1).

Тогда выполняются условие Теоремы 1.

Рассмотрим многочлен P_2n-1=ω_n(x)P_n-1(x)+Q_n-1(x): P_2n-1(x_k)= Q_n-1(x_k), k=1..n.

По условию , где A_k вычисляются по формуле (2).

С другой стороны, .

Полученные формулы верны для любых многочленов степени, не превосходящей (n-1), в частности и для Q_n(x)≡0. Тогда получим:

.

Пусть выполняются условия 1), 2). Пусть P_2n-1 – произвольный многочлен степени (2n-1). Тогда он представим в виде:

P_2n-1=ω_n(x)p_n-1(x)+q_n-1(x) и P_2n-1(x_k)= q_n-1(x_k), k=1..n.

Следовательно, .

Первое слагаемое равенства равно 0 из условия 2).

Второе слагаемое равняется из Теоремы 1: , где A_k вычисляются по формуле (2).

Что и требовалсь доказать.

Многочлены S_n(x), n=0,1… ортогональны на (a;b) с весом q(x)≥0,если:

.

Ортогональные многочлены обладают следующими свойствами:

1⁰.Всякий многочлен P_n(x) может быть представлен в виде , где C_k – коэффициенты разложения.

Доказательство

Докажем существование таких коэффициентов C_k.

Умножим последнее равенствоскалярно на qS_m, m=0,1..n. Получим:

Единственность такого разложения следует из построения.

Что и требовалось доказать.

2⁰.Всякий многочлен P_n ортогонален S_m с весом q(x), если n<m.

Доказательство

Пусть n<m.

Из свойства 1 многочлен P_n(x) представим в виде:

.

Умножим скалярно равенство на q(x)S_m(x). Получим: .

Что и требовалось доказать.

3⁰.S_n(x) имеет на [a;b] все n нулей, более того все они – простые.

Доказательство

Предположим, что S_n(x) имеет на [a;b] лишь k<n нулей, которые являются простыми (x₁..x_k).

Тогда многочлен вида не меняет знак на [a;b], а значит .

С другой стороны, многочлен имеет степень k<n, а значит по свойству 2:

Противоречие доказывает требуемое.

Таким образом, выбирая для квадратурной формулы x_k как нули многочлена степени n из некоторой ортогональной системы многочленов на [a;b], получим выполнение условия 2) Теоремы 2 (из свойства 2 ортогональных многочленов). А значит, интерполяционная квадратурная формула становится формулой наилучшей алгебраической точности.

Например, если необходиом найти интеграл на [-1;1], то узлы выгодно рассматривать, равные нулям многочлена Чебышева. Тогда интеграл примет вид:

. Вместо функции f(x) будем рассматривать функцию в квадратурной формуле.