русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Интерполяционные квадратурные формулы


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 3364; Нарушение авторских прав


Интерполяционные квадратурные формулы

Глава3. Численное интегрирование

Погрешность

При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа.

 

Пусть значения функции известны с малой точностью ε. Ответим на вопрос: останется ли в решении исходной задачи хотьо один достоверный знак. Рассмотрим приближенное равенство: . При этом для достаточно гладких функций (погрешность первого порядка).

 

ρ определяет погрешность метода и неограниченно убывает при h→0. Но есть и неустранимая погрешность, связанная с погрешностью при вычислении функции f(x): . Она неограниченно возрастает при h→0.

Таким образом, полная погрешность не превосходит . А значит, оптимальным будет шаг метода, соответствующий минимуму g(h).

 

Меньший шаг невыгоден, а меньшая погрешность недостихима. Эта минимальная ошибка тем меньше, чем меньше погрешность входных данных.

 

 

Постановка задачи

Задача состоит в приближенном вычислении интеграла , например, по дискретным значениям функции f(x) в узлах x1..xn , по замене функции ее аппроксимацией и т.д.

Так - интегральная сумма. Общий вид аппроксимирующих сумм: , где Ak – некоторые коэффициенты.

 

Пусть требуется найти определенный интеграл ,

где f(x) – дискретная функция, заданная в узлах x1…xn;

q(x)>0 – весовая функция.

Тогда приближенная формула вычисления имеет вид:

(1)

Правая часть формулы (1) – квадратура.

 

Может быть применен следующий подход: функция f(x) аппроксимируется интерполяционным полиномом Pn-1(x) по узлам x1…xn.

Получим для этого случая формулу (1) и квадратуру искомого интеграла.



Предполагается, что . Получим: .

При этом

- интерполяционный полином в Лагранжа,

- погрешность интерполяции.

Подставим в (1) вместо функции f(x) полином Pn-1(x), получим:

- интерполяционная квадратура, где . (2)

Погрешность в этом случае представима в виде: .

По построению интерполяционная квадратурная формула точна,

если f(x)=Pn-1(x).

 

Теорема 1Квадратурная формула (1) точна для любого многочлена Pk(x),

k ≤ n-1 тогда и только тогда, когда она – интерполяционная.

Доказательство

Пусть формула (1) точна для любого многочлена Pk(x), k ≤ n-1, т.е.

.

Докажем, что тогда Ak находятся по формуле (2).

Рассмотрим функции - многочлены (n-1) степени:

.

Тогда выполняется равенство: , т.е. Ai вычисляются по формуле (2).

 

Пусть формула (1) интерполяционная, т.е. Ak вычисляются по (2). Докажем, что тогда (1) точна для любого многочлена Pk(x), k ≤ n-1.

Рассмотрим произвольный многочлен Pk(x), k=n-1.

Его представление в форме Лагранжа имеет вид:

.

Его интеграл:

.

С другой стороны, его квадратура

, где Ak вычисляются по формуле (2), т.е I=J.

Что и требовалось доказать.

 

Оценим погрешность квадратурной формулы интерполяционного типа:

, где .

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Общий подход к решению поставленной задачи | Ортогональные многочлены и их свойства


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.003 сек.