Общий подход к решению поставленной задачи

Простейшие формулы погрешности

Глава2. Численное дифференцирование

Лемма

T_n(x) – многочлены со старшим коэффициентом равным еденице, наименее отклоняющиеся от нуля на [-1;1]. Т.е. если P_n(x) – многочлен степени n со старшим коэффициентом равным единице, то:

Доказательство

Предположим противное:

.

Обозначим как Q_n(x) = T_n(x)-P_n(x).

Заметим, что многочлен Q_n(x):

1)имеет (n-1) степень

2), т.к. из предположения .

Таким образом, получено, что между каждыми двумя точками многочлен Q_n(x) меняет свой знак. Т.е. многочлен Q_n(x), отличный от нуля (т.к. он ≠0 в точках ) имеет n нулей, а значит Q_n(x)≡0.

Противоречие доказывает требуемое.

Постановка задачи

Для дискретной функции f(x), заданной в узлах x₀..x_n, необходимо найти в определенном узле производную заданного порядка.

Данная задача относится к классу некорректно поставленных задач, т.к. погрешность поизводной интерполяционного многочлена может существенно превышать погрешность самой интерполяции. Т.о. к данной задаче требуется специальный подход.

Из теории рядов Тейлора можно получить:

(1)

(2)

Из формулы (1) следует:

.

Из разности формул (1) и (2) получим:

- погрешность второго порядка для симметричной разности.

Сложив формулы (1) и (2):

- аппроксимация среднего значения (для достаточно гладких функций).

. (3)

Общая задача состоит в том, чтобы найти приближенную формулу:

и ее наилучшие коэффициенты C_k. (4)

Общность подхода в том, чтобы формула (4) была точна для некоторого набора функций. Так, например, формула (3) точна для любого многочлена степени, не превосходящей 4, т.к. для таких многочленов все производные, входящие в погрешность, равны 0.

Алгоритм нахождения формулы состоит в следующем.

Пусть выбраны функции φ₁(x)..φ_n+1(x) (по числу искомых коэффициентов C_k).

должны выполняться следующие равенства:

- СЛАУ (n+1)ого порядка.

Определитель этой системы: .

Заметим, что при x_i<x_i+1 , I =0..n-1, Δ≠0 (а значит система невырождена) тогда и только тогда, когда функции φ₁(x)..φ_n+1(x) линейно независимы.