русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Общий подход к решению поставленной задачи


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 727; Нарушение авторских прав


Простейшие формулы погрешности

Глава2. Численное дифференцирование

Лемма

Tn(x) – многочлены со старшим коэффициентом равным еденице, наименее отклоняющиеся от нуля на [-1;1]. Т.е. если Pn(x) – многочлен степени n со старшим коэффициентом равным единице, то:

Доказательство

Предположим противное:

.

 

Обозначим как Qn(x) = Tn(x)-Pn(x).

Заметим, что многочлен Qn(x):

1)имеет (n-1) степень

2), т.к. из предположения .

 

Таким образом, получено, что между каждыми двумя точками многочлен Qn(x) меняет свой знак. Т.е. многочлен Qn(x), отличный от нуля (т.к. он ≠0 в точках ) имеет n нулей, а значит Qn(x)≡0.

Противоречие доказывает требуемое.

 

 

 

Постановка задачи

Для дискретной функции f(x), заданной в узлах x0..xn, необходимо найти в определенном узле производную заданного порядка.

 

Данная задача относится к классу некорректно поставленных задач, т.к. погрешность поизводной интерполяционного многочлена может существенно превышать погрешность самой интерполяции. Т.о. к данной задаче требуется специальный подход.

 

Из теории рядов Тейлора можно получить:

 

 

(1)

(2)

Из формулы (1) следует:

.

 

Из разности формул (1) и (2) получим:

- погрешность второго порядка для симметричной разности.

 

Сложив формулы (1) и (2):

- аппроксимация среднего значения (для достаточно гладких функций).

. (3)

Общая задача состоит в том, чтобы найти приближенную формулу:

и ее наилучшие коэффициенты Ck. (4)

Общность подхода в том, чтобы формула (4) была точна для некоторого набора функций. Так, например, формула (3) точна для любого многочлена степени, не превосходящей 4, т.к. для таких многочленов все производные, входящие в погрешность, равны 0.



 

Алгоритм нахождения формулы состоит в следующем.

Пусть выбраны функции φ1(x)..φn+1(x) (по числу искомых коэффициентов Ck).

должны выполняться следующие равенства:

- СЛАУ (n+1)ого порядка.

Определитель этой системы: .

Заметим, что при xi<xi+1 , I =0..n-1, Δ≠0 (а значит система невырождена) тогда и только тогда, когда функции φ1(x)..φn+1(x) линейно независимы.

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Экстремумы. | Интерполяционные квадратурные формулы


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.002 сек.