Экстремумы.

Нули многочленов Чебышева

Многочлены Чебышева

Постановка задачи:

Для многочленов P_n(x,A) степени n co старшим коэффициентом, равным 1, требуется определить для и минимизирующий многочлен P_n(x,A_min), если это возможно.

Таким образом, рассматривается задача о многочленах со старшим коэффициентом, равным 1, наименее отклоняющихся от нуля.

Рассмотрим многочлены Чебышева:

Теорема T_n(x) – многочлены степени n со старшим коэффициентом, равным 1, методом математической индукции.

Доказательство

При n=1:

- многочлен 1ой степени.

При n=2:

Пусть утверждение верно . Докажем для n = k.

Заметим, что T_k-1(x) – многочлен степени k-1 по предположению, T_k-2(x) – многочлен степени (k-2). Таким образом, T_k(x) – многочлен степени k со старшим коэффициентом, равным 1.

Что и требовалось доказать.

Теорема (свойство четности)Все многочлены T_2n(x) являются четными функциями, а T_2n+1(x) – нечетными.

Доказательство

При n = 0: T₀=1 – четная функция; T₁=x – нечетная.

Пусть утверждение верно . Докажем его справедливость для n = k.

Заметим, что из предположения T_2k-1 – нечетная функция, T_2k-2 – четная.

Тогда - четная функция,

а- нечетная.

Что и требовалось доказать.

Заметим, что:

.

Обозначим .

Тогда .

Т.к. .

- нули многочлена Чебышева T_n(x) на [-1;1].

При этом других нулей нет (т.к. многочлен nой степени имеет не более n нулей).

Рассмотрим локальные экстремумы Т_n(x) на [-1;1].

Т.к. то точками экстремума для Т_n(х) на [-1;1] будут точки, где

Следовательно, cos(n·arccosx) = ±1

n·arccosx = πk,

Обозначим где

Отсюда, .

Т.к. .

- экстреальные точки для T_n(x) на [-1;1].

Ортогональность с весом

Функции f(x) и g(x) ортогональны на [a;b] с весом ρ(x), если (ортогональность в смысле Гильбертова пространства L₂ [a;b]).

Доказательство

Обозначим

Что и требовалось доказать.