Теорема Чебышева

Задача Чебышева.

Задача Чебышева. Разрешимость системы

Свойства разделенных разностей

Погрешность интерполяции.

Обозначим f(х):=Q_n(х)+R_n(х).

Представим погрешность R_n в виде:

Отсюда, (1)

где S=0...S_k-1; φ(х_k)=0; k=0, 1...m (т.е. х_k – нули кратности S₀...S_m соответственно).

Выберем k из условия φ(х')=0, где х' – точка, в которой оценивается погрешность

Из уравнения φ(х')=0 получим:

Будем предполагать, что Тогда при таком выборе К и обращается в ноль в (n+2) точках (считая кратность): х₀...х_m, х'.

Следовательно, по Т. Ролля φ'(х) обращается в ноль в по крайней мере (n+1) точке.

...........................................................................

Тогда, по Т. Ролля φ⁽ⁿ⁺¹⁾(х) имеет хотя бы один нуль.

Т.е. существует g=g(х'): φ⁽ⁿ⁺¹⁾(g)=0.

Из равенства (1) получим:

Отсюда,

Т.к. х' выбрано произвольно, то последнее равенство верно при

Пусть задана дискретная функция f(х) в узлах х₀...х_n (х_k < х_k+1), а также её разделенная разность k-ого порядка:

Лемма:Справедливо равенство:

Доказательство(методом математической индукции):

При k=1:

Пусть верность равенства доказана при

Докажем для m-ого порядка:

Рассмотрим слагаемое для f(х₁):

Аналогично для остальных слагаемых.

Что и требовалось доказать.

Числа α_k.Пусть х_i<х_i+1 при

Обозначим:

Данные числа обладают следующими свойствами:

1. - очевидно

2. Действительно, т.к.

1)

2) Умножим на (-1)^n-i. Тогда знак числителя не зависит от i, значит знак каждого слагаемого такой же, отсюда, α_i>0.

3.

Действительно:

Из ранее доказанной Леммы:

Что и требовалось доказать.

Пусть f(х) задана дискретно в узлах х₀...х_n+1 значениями у₀...у_n+1 соответственно (х_i<x_i+1). Требуется построить многочлен Р_n(x), наилучшим образом аппроксимирующий в узлах значения функции.

Обозначим:

Р_n(x)=P_n(x,A), где А=(а₀, а₁...а_n).

Необходимо определить μ=inf max |P_n(x_k)-y_k| и минимизирующий многочлен P_n(x,A), если он существует.

Задачи такого типа называют минимальными.

Предварительно рассмотрим систему:

В системе n+2 неизвестных: h, а₀, а₁...а_n.

Докажем, что определитель системы Δ≠0.

Заметим, что:

а) sgn Δ₀=sgn Δ₁

Действительно, рассмотрим функцию q₀(x):

- многочлен n-ого порядка с нулями

в х₂, х₃...х_n+1

Отсюда, sgn q₀(x₀)=sgn q₀(x₁), т.к. точки промежутку знакопостоянства функции.

б) sgn Δ₁ = sgn Δ₂

Рассмотрим следующую функцию:

- многочлен n-ого порядка с нулями

в х₀, х₃...х_n+1

Отсюда, sgn q₁(x₁)=sgn q₁(x₂). И т.д.

Таким образом, получим: Δ≠0, следовательно, решение системы существует. Обозначим его как P_n(x,A*).

Решение задачи Чебышева:

Определить:

минимизирующий многочлен P_n(x,A), если он существует.

Теорема:Такой многочлен сущестует и совпадает с решением системы

т.е. P_n(x,A)=P_n(x,A*).

Доказательство

Не ограничивая общности будем считать, что

Если это не так, рассмотрим функцию -f(х) в системе все уравнения умножим на (-1), тогда решением будет многочлен –P_n(x,A*).

Перепишем систему следующим образом:

.

Воспользуемся свойствами чисел α_k:

При этом:

.

Однако μ>h, т.к. иначе получим h<h. Значит, μ=h. И для всякого k максимум разницы между P_n(x) и f(x) не может быть меньше.

Далее нетрудно доказать, что многочлены P_n(x,A^*) и P_n(x,A⁰) равны.

Что и требовалось доказать.

ЗамечаниеМожно рассмотреть континуальный аналог задачи Чебышева. Необходимо найти для и минимизирующий многочлен P_n(x,A⁰), если он существует.

Этот многочлен есть решение дискретной задачи при некотором наборе узлов.