русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Теорема Чебышева


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 1306; Нарушение авторских прав


Задача Чебышева.

Задача Чебышева. Разрешимость системы

Свойства разделенных разностей

Погрешность интерполяции.

Обозначим f(х):=Qn(х)+Rn(х).

Представим погрешность Rn в виде:

Отсюда, (1)

где S=0...Sk-1; φ(хk)=0; k=0, 1...m (т.е. хk – нули кратности S0...Sm соответственно).

Выберем k из условия φ(х')=0, где х' – точка, в которой оценивается погрешность

Из уравнения φ(х')=0 получим:

Будем предполагать, что Тогда при таком выборе К и обращается в ноль в (n+2) точках (считая кратность): х0...хm, х'.

Следовательно, по Т. Ролля φ'(х) обращается в ноль в по крайней мере (n+1) точке.

...........................................................................

Тогда, по Т. Ролля φ(n+1)(х) имеет хотя бы один нуль.

Т.е. существует g=g(х'): φ(n+1)(g)=0.

Из равенства (1) получим:

Отсюда,

Т.к. х' выбрано произвольно, то последнее равенство верно при

 

Пусть задана дискретная функция f(х) в узлах х0...хnk < хk+1), а также её разделенная разность k-ого порядка:

Лемма:Справедливо равенство:

Доказательство(методом математической индукции):

При k=1:

Пусть верность равенства доказана при

Докажем для m-ого порядка:

Рассмотрим слагаемое для f(х1):

Аналогично для остальных слагаемых.

Что и требовалось доказать.



 

Числа αk.Пусть хii+1 при

Обозначим:

Данные числа обладают следующими свойствами:

1. - очевидно

2. Действительно, т.к.

1)

2) Умножим на (-1)n-i. Тогда знак числителя не зависит от i, значит знак каждого слагаемого такой же, отсюда, αi>0.

3.

Действительно:

 

Из ранее доказанной Леммы:

Что и требовалось доказать.



 

Пусть f(х) задана дискретно в узлах х0...хn+1 значениями у0...уn+1 соответственно (хi<xi+1). Требуется построить многочлен Рn(x), наилучшим образом аппроксимирующий в узлах значения функции.

Обозначим:

Рn(x)=Pn(x,A), где А=(а0, а1...аn).

Необходимо определить μ=inf max |Pn(xk)-yk| и минимизирующий многочлен Pn(x,A), если он существует.

Задачи такого типа называют минимальными.

Предварительно рассмотрим систему:

В системе n+2 неизвестных: h, а0, а1...аn.

Докажем, что определитель системы Δ≠0.

Заметим, что:

а) sgn Δ0=sgn Δ1

Действительно, рассмотрим функцию q0(x):

- многочлен n-ого порядка с нулями

в х2, х3...хn+1

Отсюда, sgn q0(x0)=sgn q0(x1), т.к. точки промежутку знакопостоянства функции.

б) sgn Δ1 = sgn Δ2

Рассмотрим следующую функцию:

- многочлен n-ого порядка с нулями

в х0, х3...хn+1

Отсюда, sgn q1(x1)=sgn q1(x2). И т.д.

Таким образом, получим: Δ≠0, следовательно, решение системы существует. Обозначим его как Pn(x,A*).

 

Решение задачи Чебышева:

Определить:

минимизирующий многочлен Pn(x,A), если он существует.

Теорема:Такой многочлен сущестует и совпадает с решением системы

т.е. Pn(x,A)=Pn(x,A*).

Доказательство

Не ограничивая общности будем считать, что

Если это не так, рассмотрим функцию -f(х) в системе все уравнения умножим на (-1), тогда решением будет многочлен –Pn(x,A*).

Перепишем систему следующим образом:

.

Воспользуемся свойствами чисел αk:

При этом:

.

Однако μ>h, т.к. иначе получим h<h. Значит, μ=h. И для всякого k максимум разницы между Pn(x) и f(x) не может быть меньше.

 

Далее нетрудно доказать, что многочлены Pn(x,A*) и Pn(x,A0) равны.

Что и требовалось доказать.



 

ЗамечаниеМожно рассмотреть континуальный аналог задачи Чебышева. Необходимо найти для и минимизирующий многочлен Pn(x,A0), если он существует.

Этот многочлен есть решение дискретной задачи при некотором наборе узлов.

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Полиномиальная интерполяция с кратными узлами | Экстремумы.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.002 сек.