Построение сплайна

Аппроксимация сплайнами

Интерполяционный полином в форме Ньютона

Рассматривается функция f(х), заданная дискретно в узлах х₀...х_n. Ставится задача её аппроксимации по этим данным.

Введём понятие разделённых разностей:

1-ого порядка -

2-ого порядка -

k-ого порядка -

нулевого порядка -

Тогда:

,

....................

....................

Из первого равенства получим:

Обозначим все слагаемые, кроме последнего как Р_n(х), последнее - R_n(х).

Р_n(х) – интерполяционный полином (т.к. он порядка n и совпадает в узлах с f(х)) Ньютона.

Следствие:

Рассматривается задача приближения функции f(х) на некотором интервале по её значениям в узлах х₀...х_n (х_k< х_k+1

Кусочно-линейная функция, совпадающая в узлах с f(х) – линейный сплайн.

Обозначим разбиение {x₀…x_n} как Т.

Сплайн порядка m для функции f(х) по разбиению Т – кусочно-полиномиальная функция, если:

1) на каждом из отрезков [x_k-1, x_k] это многочлен m-ого порядка

2) в узлах совпадает с функцией f(х):

3) во внутренних узлах (х₁...х_n-1) эта функция непрерывна вместе со своими производными до (m-1)-ого порядка .

Обозначим многочлен, который необходимо найти на [x_k-1, x_k] как:

(m+1 коэффициент).

Из условия 2) для сплайна => (n+1) уравнение.

Из условия 3) => (n-1) уравнение для каждой из m функций.

Итого всего уравнений для сплайна: n+1+m(n-1)=n(m+1)+1-m

Всего неизвестных коэффициентов (m+1) для каждого из n отрезков, т.е. n(m+1).

Таким образом, число уравнений и искомых коэффициентов совпадает при m=1, иначе условий не хватает для нахождения коэффициентов, и требуются дополнительные условия.

Основные сплайны:

- 1-ого порядка – линейные;

- 2-ого порядка – кубические (m=3).

Для них 4n-2 уравнения и 4n коэффициентов.

В качестве двух дополнительных условий обычно задают значения производных в двух узлах.

Таким образом, функция f(х) может быть интерполирована на [x₀, x_n] сплайном заданного порядка.