Решения, оптимальные по Парето

Пример

Пример

TR = 12Q – 0,9Q²

TC = 12 + 2Q – 0,7 Q² + 0,03Q³

MR = MC

12 – 1,8Q = 2 – 1,4Q + 0,09 Q²

0,09 Q² + 0,4Q – 10 = 0

9 Q² + 40Q – 1000 = 0

Д/4 = (b/2)^2 – ac = 400 + 9000 = 9400

Q_1,2 = (-b/2 ± √ Д/4)/a = (-20 ± 97)/9 = 8,6; -13

Ответ: фирма получит максимальную прибыль при выпуске 9 единиц товара.

Метод линейного программирования используют при принятии решений о распределении ограниченных ресурсов для выпуска нескольких конкурирующих видов продукции. Решение сводится к определению объема выпуска каждого из них для получения максимальной прибыли.

Условия риска – такие условия, когда каждая альтернатива характеризуется несколькими исходами с определенной вероятностью.

Матрица решений – представляет собой таблицу, строками которой являются стратегии Ai, столбцами - возможные состояния среды Sj, известна вероятность реализации Ai в условиях Sj (Pi). Числа в ячейках матрицы представляют собой результаты реализации стратегии Ai в условиях Sj (xi).

На основе матрицы находят ожидаемую стоимость реализации каждой альтернативы, которая представляет собой средневзвешенную величину:

E(x) = P1x1 + P2x2 + … + Pnxn = ∑ Pixi

Оптимальной стратегией является та, которая обеспечивает наибольшую ожидаемую стоимость:

E(x) = ∑ Pixi → max

При ∑ Pi = 1.

Оценить полезность страхования груза при следующих условиях:

Вероятность катастрофы, приводящей к потере груза – 0,01.

Стоимость груза – 1000 у.е.

Стоимость страховки – 5% от стоимости груза.

Страховая премия при утрате груза – 1050 у.е.

Решение:

Воспользуемся матрицей решений:

Ответ: выгодней не страховать груз.

Метод «дерева решений» используют, когда необходимо принимать последовательный ряд решений.

«Дерево решений» – это графический метод, который позволяет увязать точки принятия решений, возможные стратегии, их последствия с возможными условиями внешней среды.

«Дерево решений» содержит следующие 4 элемента:

1) точка принятия решения - □

2) стратегии - →

3) события - y_ij в кружке

4) оценка событий (ожидаемый выигрыш) - $

Пример выбора проекта с использованием «дерева решений»:

Условия неопределенности– незнание о состоянии среды; каждая альтернатива характеризуется несколькими исходами, и вероятность наступления этих исходов не известна.

Принятие решения в условиях неопределенности возможно с использованием следующих четырех критериев:

1. Критерий Вальда:

В соответствии с критерием Вальда, если требуется гарантия, чтобы выигрыш в любых условиях оказывался не меньше, чем наибольший из возможных в худших условиях (т.е. линия поведения по принципу «рассчитывай на худшее»), то оптимальным решением будет то, для которого выигрыш окажется максимальным из всех минимальных при различных вариантах условий.

Этот критерий ориентирует ЛПР на наихудшие условия и рекомендует выбрать ту стратегию, для которой выигрыш максимальный. Из худшего выбирай наилучшее:

a = max_i min_j a_ij (1)

На пересечении строк и столбцов таблицы - NPV_ij

Таблица 1

Выбор стратегии развития ОАО «МКХП» по критерию Вальда

В соответствии с критерием Вальда, следует выбрать стратегию вертикальной интеграции.

2. Критерий Севиджа:

В соответствии с этим критерием, если требуется в любых условиях избежать большого риска, то оптимальным будет такое решение, для которого максимальный при различных вариантах условий риск окажется минимальным.

Критерий Севиджа, как и критерий Вальда, - это критерий крайнего пессимизма, но только пессимизм здесь проявляется в том, что минимизируется максимальная потеря в выигрыше, по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях.

Выбирается стратегия, которой соответствует наименьшее значение максимальной величины риска:

S = min_i max_j R_ij, где (2)

R_ij = В_ј - a_ij

В_ј - максимально возможный исход стратегии по столбцу;

a_ij – исход стратегии при соответствующих условиях внешней среды

Построим матрицу потерь, на пересечении строк и столбцов которой - R_ij

Таблица 2

Выбор стратегии развития ОАО «МКХП» по критерию Севиджа

В соответствии с критерием Севиджа, также следует выбрать стратегию вертикальной интеграции.

3. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица:

В соответствии с этим критерием, если требуется остановиться между линией поведения «рассчитывай на худшее» и линией поведения «рассчитывай на лучшее», то оптимальным решением будет то, для которого окажется максимальным показатель Гурвица.

Этот критерий рекомендует при выборе решения в условиях неопределенности не руководствоваться ни крайним пессимизмом (всегда «рассчитывай на худшее»), ни оптимизмом («все будет наилучшим образом»). Рекомендуется некое среднее решение. Этот критерий имеет вид:

H = max_i D_i, где (3)

D_i = [h*min_ja_ij + (1-h)*max_j a_ij]

h – некий коэффициент, выбираемый экспериментально из интервала между 0 и 1.

Пусть, h = 0,3, тогда (1- h) = 0,7

Таблица 3

Выбор стратегии развития ОАО «МКХП» по критерию Гурвица

В соответствии с критерием Гурвица, также следует выбрать стратегию вертикальной интеграции.

4. Критерий Лапласа, или Байесов критерий, который гласит, что если вероятности состояний среды не известны, то они должны приниматься как равные [Сио К.К. Управленческая экономика: Пер. с англ. – 2000г.; Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах и бизнесе – 2000г.].

В этом случае выбирается стратегия с максимальным исходом при условии равных вероятностей состояний среды:

Еa = max_i [(Σ a_ij)/3] (4)

Таблица 4

Выбор стратегии развития ОАО «МКХП» по критерию Лапласа

В соответствии с критерием Лапласа, также следует выбрать стратегию вертикальной интеграции.

Итак, все рассчитанные критерии принятия решений в условиях неопределенности указывают на вертикальную интеграцию МКХП с хлебозаводами как наилучшую стратегию развития предприятия.

Если требуется максимизировать или минимизировать значение единственного критерия, то соответствующее этому решение называется оптимальным.

При принятии сложных решений (необходимым признаком сложного решения является наличие нескольких несводимых друг к другу критериев), направленных на максимизацию (минимизацию) значений нескольких противоречащих друг другу критериев, отыскиваются так называемые Парето-оптимальные решения. Решение Парето-оптимально, если значение любого из критериев можно улучшить лишь за счет ухудшения значений остальных критериев.

В. Парето в начале XX в. математически сформулировал один из самых распространенных критериев оптимальности, предназначенный для того, чтобы проверить, улучшает ли предложенное изменение в экономике общий уровень благосостояния.

Критерий Парето формулируется им просто: «Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит некоторым людям пользу (по их собственной оценке), является улучшением».

Современная формулировка оптимального по Парето состояния: благосостояние общества достигает максимума, а распределение ресурсов становится оптимальным, если любое изменение этого распределения ухудшает благосостояние хотя бы одного субъекта экономической системы.

Приведенное выше определение можно формализовать следующим утверждением: состояние экономики S* считается лучшим по Парето, чем другое состояние S₁, если хотя бы один экономический субъект предпочитает S*, а все остальные по меньшей мере не делают различий между этими состояниями, но в то же время нет таких, кто предпочитает S₁ состоянию S*. Состояние экономики S* безразлично по Парето относительно состояния S₁, если все экономические субъекты не делают между ними различий; наконец, оно оптимально по Парето, если не существует такого допустимого состояния экономики, которое было бы лучше, чем это.

Критерий Парето неприменим к весьма распространенным ситуациям, при которых экономическое мероприятие, приносящее пользу одним, в то же время наносит ущерб другим. На рис. 1 точкой А показано исходное состояние экономической системы, состоящей из двух подсистем (группы X и Y). Улучшают его лишь те решения, которые приводят систему в любую точку, лежащую в заштрихованной области и на ее границах (напр., точки B, C, D). Решение, обозначенное точкой E, не удовлетворяет требованию Парето, несмотря на значительный рост удовлетворения потребностей членов группы Y: он достигается за счет снижения уровня благосостояния группы X.

Рис. 1. Оптимальность по Парето

Подведем итоги. Исследование сложных систем возможно путем их моделирования.

Моделирование – это подражание природе, учитывающее немногие ее свойства [С.Лем].

Существуют следующие методы моделирования, а значит, исследования сложных систем:

1. Формализованные методы;

2. Экспертные методы;

3. Методы системного анализа, которые включают в себя:

3.1. Метод декомпозиции (подход «сверху»);

3.2. Метод морфологического анализа (подход «снизу»);

3.3. Прочие способы моделирования систем.