Пример 5.1.4

Вогнутость и однородность производственной функции

Производственная функция удовлетворяет свойству вогнутости, если справедливо

(5.1.10)

для любых

Если производственная функция дважды дифференцируема по всем аргументам, то свойство вогнутости означает, что ее частные производные второго порядка являются отрицательными

(5.1.11)

Экономически это условие означает, что увеличение затрат одного ресурса при постоянных затратах остальных приводит к уменьшению прироставыпуска (закон убывающей отдачи).

Проверим свойство вогнутости для мультипликативной функции

Неравенство

экономически означает, что с ростом затрат труда (численности работающих) при неизменных фондах предельная производительность труда падает.

Неравенство

экономически означает, что с ростом затрат капитала при неизменных трудовых затратах предельная производительность капитала падает. ∎

Однородность степени λпроизводственной функции означает, чтодля любого λ > 0 выполняется равенство

f(λ x₁, λx₂)= λ^af(x₁, x₂) (5.1.12)

т.е. одновременное изменение всех затрат ресурсов в λразприводит к изменению выпуска в λ^α раз. Например, при λ = 2, α = 1 однородность степени 2 означает, что

т.е. при увеличении обоих ресурсов в 2 раза выпуск продукции увеличивается в 2 раза. Например, при λ = 1/2, α = 1 однородность степени 1/2 означает, что

т.е. при уменьшении обоих ресурсов в 2 раза выпуск продукции уменьшается в 2 раза. Параметр λотражает масштаб изменения производства. Если λ > 1, то производство расширяется, если λ < 1, то производство сужается. Если производство расширяется т.е.λ > 1, то параметр α отражает эффективность от расширения производства. Если число α > 1, то одновременное увеличение всех затрат в λразприводит к возрастанию выпуска в λ^α раз т.е. эффект от расширения производства положителен. Если число α < 1, то одновременное увеличение всех затрат в λразприводит к убыванию выпуска в λ^α раз эффект от расширения производства отрицателен. Если α = 1, то равенство

f(λ x₁, λx₂)= λ^af(x₁, x₂)

означает, что выпуск возрастает в той же пропорции, что затраты.