Развертка "эллипсоподобной " кривой в декартовых координатах.
"Эллипсоподобная" кривая представляет собой замкнутую кривую и в декартовой системе координат может быть описана в виде полинома степени выше двух. Недостатком такого представления является то, что эта функция является многозначной, в простейшем случае двухзначной. В случае удачного выбора центра системы координат (внутри замкнутой кривой) появляется возможность описания этой кривой с помощью однозначной функции при переходе к полярной системе координат. На рис. 9.2 показан вид "эллипсоподобной" кривой в полярных координатах (r, φ). Функция f, описывающая "эллипсоподобную" кривую, принимает в точке Pi(ri, φi) единственное значение rPi = f(Pi). Преобразование полярных координат к декартовым может быть выполнено по известным формулам:
(9.2)
где H, B – напряженность и индукция "эллипсоподобной" кривой; , – масштабы по осям H, B.
Используя преобразование (9.2), может быть построена развертка по угловой координате φ "эллипсоподобной" кривой на периоде T = 0, 2π. На рис. 9.3 показана развертка функции "эллипсоподобной" кривой в декартовых координатах.
Рис. 9.2. Вид "эллипсоподобной" кривой в полярных координатах (r, φ)
Рис. 9.3. Развертка по угловой координате φ "эллипсоподобной" кривой на периоде T = 0, 2π
На рис. 9.3 показана развертка эллипса, в случае когда "эллипсоподобная" кривая может быть аппроксимирована эллипсом. Как видно на рис. 9.3 развертка представляет собой сумму двух составляющих: постоянной и синусоиды. Их параметры определяются известными соотношениями для полуосей эллипса.
Реальная "эллипсоподобная" кривая может существенно отличаться от теоретической показанной на рис. 9.1 и рис. 9.2. Кроме того, при определении кривой по экспериментальным точкам вследствие погрешности метода форма "эллипсоподобной" кривой может существенно изменяться.
На рис. 9.4 показана форма "эллипсоподобной" кривой построенной по экспериментальным данным. На рис. 9.5 приведена форма развертки этой кривой.
На рис. 9.4 приняты следующие обозначения:
, .
Рис. 9.4. Форма "эллипсоподобной" кривой полученной по экспериментальным данным
Рис. 9.5. Развертка "эллипсоподобной" кривой полученной по экспериментальным данным
Разложение "эллипсоподобной" кривой в ряд Фурье.Для повышения точности описания "эллипсоподобной" кривой можно воспользоваться разложением ее в ряд Фурье:
; , (9.3)
где an, bn – коэффициенты Фурье функции f, описывающей развертку "эллипсоподобной" кривой; n – номер гармоники, n = 0, 1, …, N; N – число, учитываемых гармоник.
При увеличении числа учитываемых членов гармонического ряда для функции f точность аппроксимации кривой рядом Фурье с коэффициентами (9.3) может быть повышена до требуемой величины (рис. 9.6, а,б).
Как видно на рис. 9.6, а,б, предложенный метод обеспечивает высокую точность и, при необходимости, позволяет повысить точность аппроксимации петли гистерезиса.
Метод определения параметров петли гистерезиса.На основе проведенных исследований предложен метод определения параметров петли гистерезиса.
а
б
Рис. 9.6. Результаты моделирования петли гистерезиса и ее аппроксимации с использованием разложения "эллипсоподобной" кривой в ряд Фурье: а – ; б – .
Метод включает следующие операции:
– определение величин индукции и напряженности по экспериментальным данным измерений в точках реальной петли гистерезиса;
– определение величин индукции и напряженности по экспериментальным данным измерений в точках кривой намагничивания, для которых индукция соответствует индукции в точках петли гистерезиса;
– определение точек "эллипсоподобной" кривой путем вычитания напряженностей в точках кривой намагничивания и петли гистерезиса;
– формирование массива напряженностей в точках развертки "эллипсоподобной" кривой;
– определение коэффициентов Фурье для развертки "эллипсоподобной" кривой в гармонический ряд;
– построение аппроксимирующей функции для петли гистерезиса по соотношению:
, (9.4)
где – угловая координата i-той точки развертки "эллипсоподобной" кривой; Hi – напряженность i-той точки петли гистерезиса; Hhi – напряженность i-той точки кривой намагничивания.
По аналогии с (9.4), индукция кривой намагничивания и петли гистерезиса определяется в соответствии с (9.2)
. (9.5)
Выводы.1. Метод позволяет повысить точность аппроксимации петли гистерезиса ферромагнитного материала за счет увеличения числа учитываемых членов ряда Фурье разложения "эллипсоподобной" замкнутой кривой.
Контрольные вопросы:
1. Метод определения параметров петли гистерезиса по экспериментальным данным.
2. Соотношения для коэффициентов Фурье разложения "эллипсоподобной" кривой в гармонический ряд с использованием экспериментальных данных.
3. Представление петли гистерезиса в виде двух составляющих.
4. Описание первой составляющей петли гистерезиса.
5. Описание второй составляющей петли гистерезиса.
6. Развертка "эллипсоподобной " кривой в декартовых координатах.
7. Вид "эллипсоподобной" кривой в полярных координатах (r, φ).
8. Разложение "эллипсоподобной" кривой в ряд Фурье.
9. Описание метода определения параметров петли гистерезиса.
10. Аппроксимирующие функции для петли гистерезиса.
(9.2)
, 
– масштабы по осям H, B.
, 
.
; 
, (9.3)
; б – 
.
, (9.4)
– угловая координата i-той точки развертки "эллипсоподобной" кривой; Hi – напряженность i-той точки петли гистерезиса; Hhi – напряженность i-той точки кривой намагничивания.
. (9.5)