Анализ методов моделирования петли гистерезиса ферромагнитных материалов.

Тема № 8.

Много работ посвящено аппроксимации петли гистерезиса и нахождению наилучшего способа ее описания. Характеристика всех этих принципиально различных методов приводится ниже.

Методы Аркадьева, Вюршмидта, Оллендорфа и Миттельштрасса.Аркадьев, Вюршмидт и Оллендорф предложили заменить петлю гистерезиса эллипсом для вычисления потерь на гистерезис. Из литературы известно, что эллиптические петли характеризуются тремя видами магнитной проницаемости: амплитудной (полной), консумптивной (“вязкой”) и консервативной (“упругой”) проницаемостью. Аркадьев для описания петли ввел комплексную магнитную проницаемость . А Миттельштрасс предложил способ определения частей этой комплексной магнитной проницаемости . Для их нахождения были использованы основные гармоники консумптивной и консервативной частей индукции. Консервативную часть комплексной магнитной проницаемости необходимо определять по площади петли проницаемости, а консумптивную – по площади петли гистерезиса, которая должна быть построена в координатах B и .

Данные методы имеют большое теоретическое значение. Недостатком является то, что эти подходы можно применить при расчетах цепей только при малых индукциях.

Метод Релея. Для случая слабых намагничивающих полей Релей предложил следующую универсальную формулу для начального участка кривой намагничивания:

. (8.1)

В формуле (8.1) знак плюс соответствует положительным значениям напряженности поля, а знак минус – отрицательным.

А для описания петли гистерезиса Релей применил два уравнения:

· для восходящей ветви

, (8.2)

· для нисходящей ветви

, (8.3)

где H – напряженность магнитного поля; J – намагниченность; H_m – максимальное значение напряженности поля, соответствующее насыщению; a, b – постоянные коэффициенты.

Недостаток этого метода заключается в том, что соотношения (8.2), (8.3) имеют общие точки с действительной петлей гистерезиса лишь при максимальных значениях напряженности поля (H_m), во всех остальных точках наблюдается отклонение от исходных величин петли.

Метод Вольтерра. Закон магнитного последействия, который был предложен Вольтерра, выражает зависимость индукции в данный момент в виде функции от напряженности в момент времени :

, (8.4)

где t – время; – момент времени в диапазоне ; F – нелинейная функция.

Недостаток метода: неизвестен характер экспериментальной нелинейной функции F и, кроме того, наличие интеграла в правой части (8.4) усложняет расчет.

Метод Коваленкова и Мачинского. В этом методе как для описания кривой намагничивания, так и для описания петли гистерезиса применяются отрезки прямых линий. И тогда аналитическое выражение петли гистерезиса, в состав которого входит функция, выражающая изменение кривой при каждом изменении течения процесса φ_n, а также начальная кривая намагничивания , примет следующий вид:

. (8.5)

Функция в формуле (8.5) при каждом повороте алгебраически не изменяется.

В самом простом случае по данному методу для кривой намагничивания записываются два уравнения, а для петли гистерезиса – четыре.

Методы описания петли гистерезиса с использованием рядов.Для описания петли гистерезиса при помощи рядов известны несколько способов.

В первом способе применяется периодическая функция, которая раскладывается в ряд Фурье:

, (8.6)

где h – амплитуда первой гармоники; – начальная фаза n-ой гармоники; – отношение амплитуд гармоник n-ой и первой.

Помимо соотношения (8.6), в этом случае предполагается, что индукция изменяется по закону косинуса (в литературе используется термин "синусоидально"): .

Во втором способе предлагается раскладывать в ряд Фурье выражение индукции, а напряженность изменяется косинусоидально .

В третьем способе петлю гистерезиса заменяют гармоническим рядом фигур Лиссажу и разложение на эти фигуры производятся графически, а не аналитически.

Метод Мюллендорфа. По этому методу напряженность магнитного поля изменяется синусоидально , а индукция при этом выражается в следующем виде:

, (8.7)

где B_m – максимальное значение индукции; a, b – постоянные величины петли гистерезиса, находящиеся в интервале от 0,2 до 0,8.

Петля гистерезиса, рассчитанная по данному методу согласно (8.7), имеет существенную погрешность по отношению к исходной.

Метод описания петли гистерезиса в прямоугольной системе координат.В данном методе, используя прямоугольную систему координат, предлагается петлю гистерезиса выразить в виде суммы двух кривых: основной и вспомогательной. Основную кривую, ординаты которой равны полусумме ординат петли, описывают при помощи выражения

,

где B – магнитная индукция; H – напряженность магнитного поля; a, b – постоянные коэффициенты;

а вспомогательную – следующей формулой:

, (8.8)

где ; B_r – остаточная индукция; H_m – максимальная напряженность поля; B_всп – ордината вспомогательной кривой.

Недостаток данного метода состоит в том, что погрешность расчетной петли гистерезиса в соответствии с соотношением (8.8) и действительной петли составляет 11÷35 %.

Методы описания петли гистерезиса в полярных координатах.В литературе предлагается два способа описания петли гистерезиса в полярных координатах.

В первом подходе используются следующие выражения:

, (8.9)

где φ – полярный угол; m_H, m_B – масштабы по напряженности поля и индукции соответственно; r – радиус-вектор, пересекающий петлю гистерезиса (8.9) лишь в одной точке, подчиняется уравнению:

(8.10)

Здесь , а .

Приведенный способ описания петли гистерезиса относится к слабым полям. Главным недостатком является то, что аналитическая зависимость коэффициентов ряда (8.10) от индукции B_m до сих пор неизвестна.

Во втором подходе радиус-вектор выражают при помощи уравнения:

, (8.11)

где r_max – наибольший радиус-вектор петли; r_min – наименьший радиус-вектор петли; β – вспомогательный угол, заключенный в диапазоне (0, 2p).

Соотношение для определения sin β:

. (8.12)

Определение H и B идет по соотношению (8.9).

Достоинством метода является то, что параметры геометрии петли – радиус-вектор и его угол, описываются простыми аналитическими соотношениями (8.11), (8.12). Недостаток метода заключается в том, что до сих пор неизвестно его практическое применение.

Методы, предложенные Бессоновым.Бессонов предложил два метода.

Первый метод применим на постоянном токе. Он заключается в том, что берется аналитическое выражение средней кривой намагничивания и, к нему прибавляются соответствующие абсциссы некоторой дополнительной функции , знак которой зависит от направления процесса. В графическом виде в осях B, H последнее выражение по форме близко к эллипсу:

, (8.13)

где B_m – максимальное значение индукции; H_c – величина напряженности поля, при котором индукция B равна нулю, называемая коэрцитивной силой.

Второй метод используется в случае переменного тока. Выражение, описывающее петлю гистерезиса в данном способе, имеет вид:

, (8.14)

где φ – фаза индукции относительно напряжения на входе цепи.

Функцию в (8.13) и (8.14) предлагается выразить в следующем виде:

. (8.15)

При графическом построении петли формула (14) дает удовлетворительное совпадение истинной и расчетной петли гистерезиса с погрешностью около 15 %.

Достоинством последнего метода является то, что он позволяет в принципе получить более точную аппроксимацию петли гистерезиса в точках вблизи кривой намагничивания. В этой связи этот метод может быть использован в качестве перспективного при описании петли гистерезиса с высокой точностью во всем диапазоне изменения индукции.

Метод переменного доменного размера области намагничивания.Среди последних методов, описывающих петлю гистерезиса, можно отметить метод. Полное поведение гистерезиса описывается функцией вида:

, (8.16)

где y – приведенное намагничивание материала относительно намагничивания насыщения; – функция намагничивания; – функции петли гистерезиса; – функции кривой предельного намагничивания; g – константа "коэффициент антигистерезиса", характеризующая начальное намагничивание; £(y) – функция Ланжевена (Langevin).

Входящая в (8.16) функция намагничивания зависит от квантово механических параметров:

, (8.17)

где M_s – намагниченность насыщения; M – текущая величина намагниченности; – функция Бриллюэн (Brillouin); J – квантовое число; – аргумент функции Ланжевена; m_B – магнетон Бора; k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура; – размер эффективный области намагничивания в компактной форме; – величина, приложенного поля напряженностью ; α – коэффициент приведения намагниченности к результирующему полю – коэффициент Вейса (Weiss); – температура; – максимальный доменный размер; – функция доменного размера.

Достоинством метода является то, что предельные параметры петли гистерезиса для различных материалов нормированы в пределах ± 1, а ширина петли и поведение кривой начального намагничивания определяются на основе теории переменного размера области с использованием квантово механической теории. По сравнению с предыдущими методами этот метод позволяет аналитически описать поведение петли гистерезиса исходя из физики процесса намагничивания с учетом свойств магнитного материала. Недостатком метода является то, что для получения числовых величин параметров требуется знание квантово механических параметров материала (a, k, T, m_B, α, β_s). В то же время в электротехнике имеется ряд упрощающих приемов определения исходных данных для кривых намагничивания, в частности путем прямых измерений ширины петли гистерезиса, параметров предельной петли гистерезиса, параметров средней кривой намагничивания. Поэтому в тех случаях, когда не требуется связь параметров петли гистерезиса с квантово механическими параметрами материала этим методом можно не пользоваться.

Выводы. В большинстве случаев для описания петли гистерезиса требуется аналитическое выражение кривой намагничивания, а также нахождение нескольких параметров (вспомогательных величин) или вспомогательных кривых. Число этих вспомогательных величин более двух. Недостатками перечисленных методов является то что, они ориентированы на графоаналитические описание петли гистерезиса. Погрешности расчетных петель гистерезиса в большинстве случаев составляют 15 % и более.

В качестве перспективного метода аппроксимации петли гистерезиса можно рекомендовать метод, предложенный Бессоновым. Метод позволяет в принципе повысить точность описания петли гистерезиса ферромагнитных материалов электромагнитов компенсаторов магнитного поля во всем диапазоне изменения индукции. Кроме того, при описании кривой намагничивания в этом случае можно обойтись без знания квантово механических параметров материала.

Контрольные вопросы:

1. Анализ методов моделирования петли гистерезиса ферромагнитных материалов.

2. Методы Аркадьева, Вюршмидта, Оллендорфа и Миттельштрасса.

3. Метод Релея. Метод Вольтерра.

4. Метод Коваленкова и Мачинского.

5. Методы описания петли гистерезиса с использованием рядов.

6. Метод Мюллендорфа.

7. Метод описания петли гистерезиса в прямоугольной системе координат.

8. Методы описания петли гистерезиса в полярных координатах.

9. Методы, предложенные Бессоновым.

10. Метод переменного доменного размера области намагничивания.