Зависимость между B и H для каждого ферромагнитного материала изображают в виде кривой намагничивания . И эта зависимость является основной характеристикой магнитного материала. Важными характеристиками магнитомягкого материала является: 1) зависимость относительных значений магнитной проницаемости (μr) от магнитной индукции ; 2) кривая относительной магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля . Эти зависимости приводятся в литературе и справочниках в виде таблиц и в виде кривых намагничивания, а также предлагается большое количество функций для их аналитического выражения. Все предложенные функции, отображающие в той или иной степени кривую намагничивания в целом или отдельные ее участки делятся следующим образом.
Дробно-линейные функции. В этом случае кривые намагничивания (для положительного участка) могут быть представлены в таком виде:
; (7.1)
, (7.2)
где B – магнитная индукция; H – напряженность магнитного поля; a, b – постоянные коэффициенты.
Недостатками данных способов описания кривой намагничивания является то, что они дают существенную погрешность аппроксимированной и действительной кривой намагничивания в области ниже колена. Эта погрешность достигает 13 – 20%.
Степенные функции с экспоненциальной поправкой. Для данной группы аппроксимирующее выражение описывается степенной функцией и корректируется с помощью экспоненциальной функции k(B). Если при использовании одной поправочной функции k(B) не достигается требуемая точность, то полученную зависимость для кривой намагничивания аналогичным образом корректируют, т.е. применяют еще одну функцию k(B). В общем виде аналитическое выражение представляется следующим образом:
, (7.3)
где a – эмпирический коэффициент; m – степень; – поправочная экспоненциальная функция:
,
где d, b, c –эмпирические коэффициенты.
В литературе аппроксимирующие выражения для низкоуглеродистой горячекатаной электротехнической стали марки 10895, имеет вид:
.
Приведенные выражения достаточно хорошо описывает кривую намагничивания.
Экспоненциальные функции. Общий вид экспоненциальной функции имеет вид:
, (7.4)
где k1, k2, a, b, c, m, g – постоянные коэффициенты.
Недостатками данного метода описания кривой намагничивания являются следующие факторы:
а) при индукция , хотя должно быть .
б) dB/dH стремиться к бесконечности при H → ∞, хотя на самом деле dB/dH должно стремиться к единице.
Логарифмические функции. Для описания кривой намагничивания с использованием логарифмической функции предлагаются выражения:
; (7.5)
; (7.6)
, (7.7)
где a, b – постоянные коэффициенты.
Главным недостатком выражения (7.6) является то, что при стремиться к бесконечности. Устранить этот недостаток пытаются добавлением единицы под знаком логарифма. Такие попытки, представленные в формулах (7.5) и (7.7), увеличивают погрешность расчетной и исходной кривой намагничивания при малых значениях напряженности H.
Функции с арктангенсами. Общий вид аналитического выражения кривой намагничивания в данном случае записывается следующим образом:
, (7.8)
где a, b, c – постоянные коэффициенты.
Известной частной формулой является выражение:
. (7.9)
При больших значениях напряженности H аппроксимированная кривая намагничивания обычно располагается несколько ниже, а при малых в большинстве случаев лежит немного выше исходной кривой намагничивания. Величины этих отклонений и определяют погрешность аналитического описания кривой намагничивания и могут достигать 30%.
Гиперболические функции. В этом случае кривая намагничивания описывается с помощью гиперболических функций:
; (7.10)
; (7.11)
, (7.12)
где a, b, c – постоянные коэффициенты.
Из всех приведенных функций выражение (7.11) намного хуже описывает кривую намагничивания, чем уравнение (7.10). Наиболее удачным все-таки является формула (7.12).
Функции тригонометрических рядов. Аналитическое выражение кривой намагничивания с использованием рядов записывается следующими двумя уравнениями:
; (7.13)
, (7.14)
где a2n-1, b2n-1 – постоянные коэффициенты рядов; n – число членов ряда
В выражениях (7.13), (7.14) H1 и B1 значения напряженности поля и магнитной индукции, соответственно, произвольно выбранные и соответствующие одному радиану. Пределы изменения напряженности поля (H) равны (-πH1/2, πH1/2), а для индукции (B) – (-πB1/2, πB1/2).
Функции с полиномами по степеням B.Описание кривой намагничивания при помощи полиномов выглядит следующим образом:
, (7.15)
где – число учитываемых членов ряда; – постоянные коэффициенты ряда.
Функции степеней H. Аналитическое выражение кривой намагничивания в этом случае может быть представлено в виде одного из следующих уравнений:
; (7.16)
, (7.17)
где a, b – постоянные коэффициенты; m – степень.
При использовании выражения (7.16) необходимо знать, что максимум достигается при и, следовательно, построение кривой намагничивания может быть выполнено только до этой точки.
В выражении (7.17) степень m должна быть меньше единицы. Наиболее целесообразно принять ее равной 0,333 или 0,5. Из уравнения (7.17) получаются частные формулы, из которых получило распространение, следующее выражение:
. (7.18)
Данная функция несколько хуже отображает кривую намагничивания, чем выражение (7.17).
Кусочно-линейное представление кривой намагничивания.Суть этого метода заключается в том, что кривую намагничивания заменяют отрезками, каждый из которых описывается уравнением прямой. Данный метод считается одним из лучших. Так, например, кривую намагничивания можно записать двумя уравнениями: и . Если же кривая имеет изгибы, то необходимо использовать большее количество уравнений для ее описания.
Низкая точность метода связана с тем, что использованная степень аппроксимации невысока и обусловлена ограниченным применением средства вычислительной техники на момент разработки метода. Этот недостаток может быть преодолен при использовании более высокой степени аппроксимированных кривых для участков.
Тензорные функции.Для учета анизотропии ферромагнитной среды существует два подхода.
Первый подход сводится к тому, что в уравнение вводится тензор магнитной проницаемости и тогда выражение кривой намагничивания примет вид:
. (7.19)
В этом случае ферромагнитный материал рассматривается как однородная анизотропная среда. В декартовой системе оси координат выбирается таким образом, чтобы они совпадали с осями тензора . Тогда тензор записывается как диагональная матрица:
, (7.20)
где ,,– постоянные величины независящие от координат x, y, z.
Второй подход предполагает введение тензоров и определяющих взаимную ориентацию в пространстве векторов B, M, H. В данном случае аналитическое выражение кривой намагничивания записывают в виде:
, (7.21)
где – магнитная проницаемость; – магнитная восприимчивость.
Приведенные уравнения применяются для анизотропных материалов, как гистерезисных, так и безгистерезисных. Они представляют собой математическое обобщенное выражение процесса изменения магнитного состояния вещества в произвольном поле. Этот подход применим для описания:
1) кривых первоначального намагничивания;
2) предельных циклов перемагничивания;
3) множества частных циклов перемагничивания во всех пространственных направлениях.
Основными недостатками этих подходов является то, что приведенные соотношения не могут быть заданы конечным набором чисел для реализации на ЭВМ, а также невозможность получения этих зависимостей на основе прямых экспериментов.
Кроме того, эти подходы не учитывают свойства материала. Так, для изотропного безгистерезисного материала существует всего одна кривая. Для построения характеристик анизотропных материалов перспективным является комбинированный подход. Он заключается в том, что создается модель процесса намагничивания ферромагнитного материала. В ней используются свойства идеализированных магнитных частиц, обладающих одноосной анизотропией. Для каждой частицы во внешнем поле записывается энергетическое уравнение. Средняя намагниченность элементарного объема, свойства которого выражаются через свойства частиц, находится при помощи вероятностных характеристик намагниченности отдельных частиц. Для того чтобы получить семейство характеристик перемагничивания в числовом виде необходимо решить совместно энергетическое и стохастическое уравнения, описывающие устойчивые связи случайных величин. Для настройки модели на определенный материал производится подбор величины намагниченности частицы и законов распределения. Если модель готова, то, считается, что она способна отобразить в полном объеме все данные, которые заложены зависимостью (7.21).
Недостаток модели состоит в том, что до сих пор остается неизвестной информация, касающейся достоверности данных модели в области, которая является недоступной эксперименту.
Смешанные функции.Аналитическое выражение кривой намагничивания, так называемых смешанных функций, может быть представлено одним из следующих уравнений:
; (7.22)
; (7.23)
; (24)
, (7.25)
где a, b, c, d – постоянные коэффициенты.
Главный недостаток всех перечисленных выражений – это их громоздкость.
К этому типу функций следует отнести и следующее выражение:
; (7.26)
,
где a, b, c – постоянные величины, которые необходимо определять по действительной кривой намагничивания; , – величины напряженности магнитного поля.
Зависимость (7.26) справедлива для ограниченного диапазона напряженностей. Для того чтобы его расширить применяют более сложное выражения для описания кривой намагничивания.
Нахождение кривой намагничивания на постоянном токе по кривой намагничивания, снятой на переменном токе.Аналитическоевыражениекривойнамагничивания,снятойнапеременномтоке,черезкоэффициенты a и b, которые входят в уравнение кривой намагничивания, снятой на постоянном токе, имеет вид:
, (7.27)
где w – число витков; l – тангенс угла наклона в начальной части кривой намагничивания; a, b – постоянные коэффициенты.
Универсальная функция.Одна из методик по определению универсальной кривой намагничивания заключается в том, что предлагается пользоваться безразмерной относительной нормированной зависимостью вида . Для того, чтобы перейти к реальным величинам магнитной проницаемости, необходимо воспользоваться следующим соотношением:
, (7.28)
где – величина, нормированная на единицу в точке максимума, при условии что ; – магнитная постоянная; – максимальная величина относительной магнитной проницаемости.
Для перехода от аппроксимации к реальным значениям напряженности применяют следующее выражение:
. (7.29)
Достоинством данного метода является то, что приведенная универсальная аппроксимация справедлива в широком диапазоне напряженностей магнитного поля.
Недостатки метода:
– зависимость является кусочной и поэтому становится невозможным использование аналитических методов расчета из-за наличия разрывов первого и второго рода;
– в формуле (7.29) величина определяется довольно-таки произвольно.
Другая методика по определению универсальной кривой намагничивания сводится к тому, что предлагаемая формула для аппроксимации требует знания пяти параметров, для каждой стали:
– напряженность магнитного поля, при которой магнитная проницаемость становится максимальной;
– индукция насыщения;
– начальная магнитная проницаемость;
– безразмерный коэффициент.
Аналитическое выражение кривой намагничивания в этом случае имеет вид:
(7.30)
где – поправочная функция:
, (7.31)
где – нормированное значение напряженности поля, .
Главное преимущество данной методики заключается в том, что аппроксимированное выражение требует определения одного параметра , четыре же остальных можно найти в справочниках.
Выводы. В качестве перспективного направления совершенствования методов можно предложить метод кусочной аппроксимации кривой намагничивания, например, полиномиальными функциями одинакового вида для всех участков. Такой метод учитывает возможности современной вычислительной техники и в принципе позволяет повысить точность аппроксимации.
Контрольные вопросы:
1. Анализ методов моделирования кривой намагничивания ферромагнитных материалов.
2. Дробно-линейные функции. Смешанные функции.
3. Степенные функции с экспоненциальной поправкой.
4. Экспоненциальные, логарифмические, гиперболические и арктангенсные функции.
5. Функции тригонометрических рядов.
6. Функции с полиномами по степеням B и функции степеней H.
7. Кусочно-линейное представление кривой намагничивания.
8. Тензорные функции.
9. Нахождение кривой намагничивания на постоянном токе по кривой намагничивания, снятой на переменном токе.
. И эта зависимость является основной характеристикой магнитного материала. Важными характеристиками магнитомягкого материала является: 1) зависимость относительных значений магнитной проницаемости (μr) от магнитной индукции 
; 2) кривая относительной магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля 
. Эти зависимости приводятся в литературе и справочниках в виде таблиц и в виде кривых намагничивания, а также предлагается большое количество функций для их аналитического выражения. Все предложенные функции, отображающие в той или иной степени кривую намагничивания в целом или отдельные ее участки делятся следующим образом.
; (7.1)
, (7.2)
, (7.3)
– поправочная экспоненциальная функция:
,
.
, (7.4)
индукция 
, хотя должно быть 
.
; (7.5)
; (7.6)
, (7.7)
стремиться к бесконечности. Устранить этот недостаток пытаются добавлением единицы под знаком логарифма. Такие попытки, представленные в формулах (7.5) и (7.7), увеличивают погрешность расчетной и исходной кривой намагничивания при малых значениях напряженности H.
, (7.8)
. (7.9)
; (7.10)
; (7.11)
, (7.12)
; (7.13)
, (7.14)
, (7.15)
– число учитываемых членов ряда; 
– постоянные коэффициенты ряда.
; (7.16)
, (7.17)
и, следовательно, построение кривой намагничивания может быть выполнено только до этой точки.
. (7.18)
и 
. Если же кривая имеет изгибы, то необходимо использовать большее количество уравнений для ее описания.
и тогда выражение кривой намагничивания примет вид:
. (7.19)
, (7.20)
,
,
– постоянные величины независящие от координат x, y, z.
и 
определяющих взаимную ориентацию в пространстве векторов B, M, H. В данном случае аналитическое выражение кривой намагничивания записывают в виде:
, (7.21)
– магнитная проницаемость; 
– магнитная восприимчивость.
; (7.22)
; (7.23)
; (24)
, (7.25)
; (7.26)
,
, 
– величины напряженности магнитного поля.
, (7.27)
. Для того, чтобы перейти к реальным величинам магнитной проницаемости, необходимо воспользоваться следующим соотношением:
, (7.28)
– величина, нормированная на единицу в точке максимума, при условии что 
; 
– магнитная постоянная; 
– максимальная величина относительной магнитной проницаемости.
. (7.29)
является кусочной и поэтому становится невозможным использование аналитических методов расчета из-за наличия разрывов первого и второго рода;
определяется довольно-таки произвольно.
– напряженность магнитного поля, при которой магнитная проницаемость становится максимальной;
– индукция насыщения;
– начальная магнитная проницаемость;
– безразмерный коэффициент.
(7.30)
– поправочная функция:
, (7.31)
– нормированное значение напряженности поля, 
.