Математическое описание проектируемого объекта называют математической моделью. Математическая модель – это совокупность математических элементов (чисел, переменных, векторов, множеств) и отношений между ними, которые с требуемой для проектирования точностью описывают свойства проектируемого объекта. На каждом этапе проектирования используется свое математическое описание проектируемого объекта, сложность которого должна быть согласована с возможностями анализа на ЭВМ, что приводит к необходимости иметь для одного объекта несколько моделей различного уровня сложности.
В общей теории математического моделирования математическую модель любого объекта характеризуют внутренними, внешними, выходными параметрами и фазовыми переменными.
Внутренние параметры модели определяются характеристиками компонентов, входящих в проектируемый объект, например номиналы элементов принципиальной схемы.
Выходные параметры модели – это показатели, характеризующие функциональные, эксплуатационные, конструкторско-технологические, экономические и другие характеристики проектируемого объекта. К таким показателям могут относиться масса и габариты проектируемого объекта, надежность, стоимость и т.п. Понятия внутренних и выходных параметров инвариантны, при моделировании на более сложном уровне выходные параметры могут стать внутренними и наоборот.
Внешние параметры модели – это характеристики внешней по отношению к проектируемому объекту среды, а также рабочие управляющие воздействия. Вектор внешних параметров в общем случае содержит множество самых различных составляющих.
Уравнения математической модели могут связывать некоторые физические характеристики компонентов, которые полностью характеризуют состояние объекта, но не являются выходными или внутренними параметрами модели. Такие характеристики называют фазовыми переменными.
При построении математической модели физической системы исходные данные должны содержать сведения о структуре системы и свойствах входящих в нее компонентов.
На каждом уровне моделирования различают математические модели проектируемого электромеханического объекта и компонентов, из которых состоит объект. Математические модели компонентов представляют собой системы уравнений, которые устанавливают связь между фазовыми переменными, внутренними и внешними параметрами, относящимися к данному компоненту. Эти уравнения называют компонентными, а соответствующую модель – компонентной. Например, уравнения закона Ома для магнитных цепей могут выступать компонентными уравнениями для электромеханических систем.
Математические модели объекта проектирования, представляющего объединение компонентов, получают на основе математических моделей компонентов, входящих в объект. Объединение компонентных уравнений в математическую модель объекта осуществляется на основе фундаментальных физических законов, например законов Кирхгофа. Уравнения, описывающие эти законы, называют топологическими уравнениями в выбранной системе координат, в которой представляется математическая модель. Они отражают связи между компонентами в устройстве (структурные свойства системы). Совокупность компонентных и топологических уравнений для проектируемого объекта и образует систему, являющуюся математической моделью объекта.
Топологические и компонентные уравнения дают полное описание системы и путем их преобразования можно получить математические модели различных типов. Естественно стремление к таким моделям, которые содержат, возможно, меньшее число переменных, наиболее удобны по форме и требуют минимальных усилий при их построении.
Часто имеется возможность сформировать математическую модель в однородной системе координат. Графическим аналогом системы выступает схема замещения. Например, для электрической цепи. В качестве этих координат выступают сечения или контуры этой схемы. Соответственно получаем уравнения сечений и уравнения контуров. Однако в общем случае приходится прибегать к неоднородным системам координат, когда переменные связаны как с контурами, так и с сечениями. Система координат называется сокращенной, если используется только часть сечений и контуров схемы.
В результате целенаправленного преобразования топологических и компонентных уравнений получаем систему уравнений, которую можно представить в матричной форме следующим образом:
. (4.1)
Квадратная матрица W и матрица Q элементы, которых выражаются через параметры компонентов и интегральные и дифференциальные операторы, полностью определяют систему уравнений относительно вектора переменных X. Вектор F содержит в качестве своих компонент заданные функции, характеризующие независимые источники.
Решение уравнения (4.1) относительно вектора X позволяет получить совокупность независимых переменных, через которые определяются и любые другие переменные, характеризующие состояние системы.
Уравнение (4.1) в дифференциальной форме может быть преобразовано в уравнение переменных состояния, которое для линейной системы имеет вид:
, (4.2)
где x – вектор переменных состояния и ν – задающий вектор; x и ν связаны между собой матрицами A и B.
Общая процедура преобразования исходных данных к математическим моделям системы показана на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Преобразование исходных данных к математическим моделям системы
Контрольные вопросы:
1. Основные параметры математической модели.
2. Внутренние параметры математической модели.
3. Внешние параметры математической модели.
4. Выходные параметры математической модели.
5. Фазовые переменные математической модели.
6. Компонентные и топологические уравнения.
7. Математическая модель объекта.
8. Однородная, неоднородная и сокращенная системы координат.
9. Уравнения сечений, контуров и переменных состояния.
10. Преобразование исходных данных к математическим моделям системы.
. (4.1)
, (4.2)