Реальные объекты обладают бесконечным множеством свойств и характеризуются бесконечным множеством связей как внутри самого объекта, так и вне его (связи с другими объектами и окружающей средой). Переход к соответствующим моделям является наиболее сложным и ответственным этапом применения математического аппарата.
Общие требования, предъявляемые к математической модели: достаточная точность, предельная простота и стандартная форма.
Точность математической модели – это способность оценивать степень совпадения значений выходных параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели. Т.е. обеспечить достаточную точность модели – это значит учесть при идеализации реального объекта все существенные свойства и связи, отвлекаясь от второстепенных, несущественных свойств и связей. Решение этого вопроса зависит не только от характера самого объекта, но и от поставленной задачи. Поэтому для одного и того же объекта может потребоваться не одна, а несколько моделей, обслуживающих различные задачи при его проектировании или исследовании.
Представляя реальный объект с достаточной точностью, математическая модель в то же время должна быть по возможности проще, так как дальнейшая работа со сложной моделью не только затруднительна, но может оказаться и практически невозможной. Противоречивость этих требований нередко вынуждает поступиться точностью в интересах простоты, однако такой компромисс допустим только в пределах, при которых модель еще отражает существенные свойства реального объекта.
При моделировании реальных объектов целесообразно ориентироваться на математические модели стандартного вида. Физические процессы характеризуются пространственно-временными соотношениями и в общем случае описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Важным методом упрощения модели является представление объекта или совокупности объектов в виде системы таких ее частей (компонентов), связь между которыми можно с достаточной точностью охарактеризовать функциями только одной переменной (времени).
Если известны модели компонентов в виде некоторых зависимостей относительно их внешних связей, то модель системы можно представить обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем самым осуществляется переход от модели с распределенными параметрами к более простой модели с сосредоточенными параметрами.
Если параметры компонентов можно считать не зависящими от времени, то система представляется стационарной моделью в виде, дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Параметры системы и приложенные к ней воздействия можно рассматривать как детерминированные или случайные величины, что приводит соответственно к детерминированным или стохастическим моделям. Выбор той или иной модели зависит от характера протекающих процессов и поставленной задачи исследования.
Стохастические модели имеют особенно важное значение при исследовании и проектировании больших систем со сложными связями и трудно учитываемыми свойствами. В подобных ситуациях близость математической модели к исходной системе усиливается приданием ей вероятностного или статистического характера, учитывающего существенные свойства и связи, которые не поддаются детерминированному описанию.
Т.к. реальные физические процессы протекают в непрерывно изменяющемся времени, то применяют непрерывные математические модели.
Однако во многих случаях целесообразно рассматривать состояние системы только для последовательности дискретных значений независимой переменной (времени), отвлекаясь от характера происходящих процессов в промежутках между этими значениями. Этот подход обслуживают различные типы дискретных моделей.
Различают модели статические и динамические в зависимости от того, учитывают ли уравнения модели инерционности процессов в проектируемом объекте или нет. Статические модели отражают состояние объекта проектирования при неизменных внешних параметрах и не учитывают его переходные характеристики. Динамические модели дополнительно отражают переходные процессы в объекте, происходящие при изменении во времени внешних параметров.
К математическим моделям предъявляется и целый ряд других требований, среди которых следует выделить следующие:
1. Универсальность математической модели, т.е. способность характеризовать полноту отражения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражают не все, а лишь некоторые свойства реального объекта.
2. Адекватность математической модели, т.е. ее способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной.
Т. к. выходные параметры модели являются функцией от параметров внутренних и входных, то и точность модели зависит от их значений. Адекватность модели имеет место в ограниченной области изменения внутренних и входных параметров.
3. Вычислимость, т.е. возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).
4. Модульность, т.е. соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы).
5. Алгоритмизируемость, т.е. возможность разработки соответствующего алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ
6. Наглядность, т.е. удобное визуальное восприятие модели.
Контрольные вопросы:
1. Общие требования, предъявляемые к математической модели.
2. Достаточная точность математической модели.
3. Предельная простота математической модели.
4. Стандартная формаматематической модели.
5. Модели с распределенными параметрами и модели с сосредоточенными параметрами.
