Ортогональный план второго порядка

В общем виде композиционные планы второго порядка не ортогональны, но они легко приводятся к ортогональным выборам соответствующего звездного плеча a. Значения звездного плеча a для ортогонального композиционного плана приведены в табл. 8.3.

Выбрав из табл. 8.3 значение (при k = 2 и n₀ = 1) получим ортогональный план второго порядка для двух факторов (табл. 8.4) (с целью упрощения все последующие примеры приведены также для двухфакторного эксперимента).

Уравнение регрессии при центральном ортогональном композиционном планировании ищут в следующем виде:

= b₀^* + b₁ х₁ + b₂х₂ + b₁₂ х₁ х₂ + b₁₁ х₁^* + b₂₂ х₂^*. (8.3)

Благодаря ортогональности матрицы планирования все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга по формулам

(8.4)

здесь j ¹ 0 при коэффициенте b_jи j ¹ u при коэффициенте b_ju, b₀^*– промежуточный коэффициент.

Таблица 8.3

Значения звездного плеча a для различного числа факторов k

и опытов в центре плана n₀

n₀	k
			5*
		1,215	1,414	1,546
	1,077	1,285	1,471	1,606
	1,148	1,353	1,546	1,664
	1,214	1,414	1,606	1,718
	1,267	1,471	1,664	1,463
	1,320	1,525	1,718	1,819
	1,369	1,575	1,772	1,868
	1,414	1,623	1,819	1,913
	1,454	1,668	1,868	1,957
	1,498	1,711	1,913	2,000

* полуреплика, х₅ = х₁х₂х₃х₄.

Таблица 8.4

Ортогональный план второго порядка для двух факторов

Системы опытов	№ оп	х₀	х₁	х₂	х₁ х₂	х₁^*	х₂^*
Полный Факторный Эксперимент		+1	–1	–1	+1	+1/3	+1/3
	+1	+1	–1	–1	+1/3	+1/3
	+1	–1	+1	–1	+1/3	+1/3
	+1	+1	+1	+1	+1/3	+1/3
Опыты в звездных точках		+1	+1			+1/3	–2/3
	+1	–1			+1/3	–2/3
	+1		+1		–2/3	+1/3
	+1		–1		–2/3	+1/3
Опыты в центре плана		+1				–2/3	–2/3

Входящие в таблицу 8.4 и уравнения (8.3–8.4) вспомогательные переменные определяются по формуле

, (8.5)

где j – номер фактора; i – номер опыта.

Расчет вспомогательных переменных производится с целью приведения матрицы к ортогональному виду. Для того чтобы получить уравнение регрессии в обычной форме

= b₀ + b₁ х₁ + b₂ х₂ + b₁₂ х₁ х₂ + b₁₁

+ b₂₂

, (8.6)

b₀ определяют по формуле

(8.7)

и оценивают с дисперсией, равной

. (8.8)

Рассчитав дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность полученного уравнения.

Коэффициенты уравнения регрессии, получаемые при помощи ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью. Для k < 5 имеем:

. (8.9)

. (8.10)

. (8.11)

. (8.12)

где u, j = 1, 2, …, k; u ¹ j .

Значимость коэффициентов регрессии определяется по критерию Стьюдента аналогично плану первого порядка (см. раздел 6.3).

Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера, как и в случае полного факторного эксперимента.