Ротатабельный план второго порядка

Ортогональные планы второго порядка не обладают свойством ротатабельности. Бокс и Хантер предложили считать оптимальными ротатабельные планы второго порядка. Ротатабельным будет такое планирование, у которого матрица (X^ТX)^–1 инвариантна к ортогональному вращению координат.

Рассмотрим построение ротатабельного плана второго порядка на примере k = 2. Точки 1, 2, 3, 4 образуют ПФЭ типа 2², точки 5, 6, 7, 8 – звездные точки с координатами (±a, 0) и (0, ±a), координаты n₀ опытов 9, 10, 11, 12, 13 в центре плана нулевые (0, 0) (табл.8.5).

Таблица 8.5

Ротатабельный план второго порядка для k = 2

Системы опытов	№ оп.	х₀	х₁	х₂	х₁ х₂	х₁²	х₂²
Полный факторный эксперимент		+1	–1	–1	+1	+1	+1
	+1	+1	–1	–1	+1	+1
	+1	-1	+1	–1	+1	+1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1
Опыты в звездных точках		+1	–1,412			+2
	+1	+1,412			+2
	+1		–1,412			+2
	+1		+1,412			+2
Опыты в центре плана		+1
	+1
	+1
	+1
	+1

Определение коэффициентов уравнения регрессии и их дисперсий производится по следующим формулам:

; (8.13)

; (8.14)

; (8.15)

. (8.16)

Значения констант, входящих в выражения расчета коэффициентов регрессии, приведены в табл. 8.6.

Таблица 8.6

Вычисление коэффициентов регрессии при ротатабельном

планировании для k £ 5

Число факторов, k	Число опытов, N	n₀	a	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a₇
2			1,412	0,2	0,1	0,125	0,25	0,1251	0,0187	0,1
3			1,682	0,166	0,0568	0,0732	0,125	0,0625	0,0069	0,0568
4			2,0	0,1428	0,0357	0,0417	0,0625	0,0312	0,0037	0,0357
5*			2,0	0,1591	0,0341	0,0417	0,0625	0,0312	0,0028	0,0341
5			2,378	0,0988	0,0191	0,0231	0,0312	0,0156	0,0015	0,0191

* полуреплика

Ошибки коэффициентов определяются по формулам:

Sb₀² = a₁ S_вос²; Sb_j² = a₃ S_вос²; Sb_uj² = a₄S_вос²; Sb_jj²= (a₅+a₆) S_вос². (8.17)

Значимость коэффициентов определяется по критерию Стьюдента аналогично определению значимости при ортогональном планировании эксперимента. Если незначимым оказался один из квадратичных эффектов, то его следует исключить и коэффициенты уравнения регрессии пересчитать.

При использовании ротатабельных планов второго порядка отпадает необходимость в постановке дополнительных опытов для оценки дисперсии воспроизводимости. Дисперсию воспроизводимости определяют по опытам в центре плана. Остаточную дисперсию определяют аналогично ПФЭ. Адекватность уравнения регрессии проверяют по критерию Фишера: , где – дисперсия адекватности, – число степеней свободы дисперсии адекватности. Уравнение адекватно, если F < F_1–p(f₁, f₂), где ; .