Центральное композиционное планирование

Планы второго порядка

Процесс оптимизации часто приводит в область факторного пространства, где кривизна поверхности отклика велика и вследствие этого не может быть описана многочленом первого порядка. Для адекватного математического описания в этом случае требуется многочлен более высокого порядка. В настоящее время наиболее широко для описания области, близкой к экстремуму, применяют полиномы второго порядка.

(8.1)

Это объясняется следующим:

- имеются хорошо разработанные планы второго порядка;

- поверхности второго порядка легко поддаются систематизации и, следовательно, определению экстремальной точки;

- дальнейшее возрастание порядка полинома приводит к значительному увеличению числа опытов.

Для описания поверхности отклика полиномами второго порядка независимые факторы в планах эксперимента должны принимать не менее трех разных значений. Трехуровневый план, в котором реализованы все возможные комбинации из k факторов на трех уровнях, представляет собой полный факторный эксперимент 3^k. Полный факторный эксперимент 3^k требует слишком большого числа опытов, намного превышающего число определяемых коэффициентов l уравнения регрессии уже для k > 2 (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Количество опытов N и коэффициентов уравнения регрессии l

при различном числе факторов

k
N = 3^k
l

Сократить число опытов можно, если воспользоваться композиционным планированием. Ядро таких планов составляет ПФЭ 2^kпри k < 5 или полуреплика от него при k ³ 5. Затем к нему добавляют 2k звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства, и увеличивают число экспериментов в центре плана. Отсюда и произошло название метода – центральное композиционное планирование (ЦКП). Пример матрицы планирования эксперимента второго порядка для двух факторов приведен в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Композиционный план 2-го порядка для 2 факторов

Системы опытов	№ оп.	х₀	х₁	х₂	х₁ х₂	х₁²	х₂²
Полный факторный эксперимент		+1	+1	–1	-1	+1	+1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1
	+1	–1	+1	–1	+1	+1
	+1	–1	–1	+1	+1	+1
Опыты в звездных точках		+1	+a			a²
	+1	–a			a²
	+1		+a			a²
	+1		–a			a²
Опыты в центре плана		+1
...	...	...	...	...	...	...
N	+1

Количество опытов в матрице композиционного плана второго порядка определяется по формулам

N = 2^k + 2k + n₀ при k < 5, (8.2) N = 2^k^–1 + 2k + n₀ при k ³ 5 ,

где 2^k– число опытов, образующих полный факторный эксперимент (ядро плана); 2k – число так называемых звездных точек в факторном пространстве, имеющих координаты (±a, 0, 0, ..., 0); (0, ±a, 0, ..., 0); …; (0, 0, ..., ±a); n₀ – опыты в центре плана, т.е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, ..., 0). Здесь a – величина, называемая звездным плечом. Геометрически план второго порядка для двух факторов можно представить следующим образом (рис. 8.1).

Различают два вида композиционного планирования – ортогональное и ротатабельное.

Рис. 8.1. Композиционный план 2-го порядка для k = 2