Ячеечная модель

Ячеечная модель впервые была предложена для каскада реакторов с мешалками и является одной из самых простых среди реальных моделей. В этом случае аппарат представляют состоящим из ряда n последовательно соединенных ячеек, через которые проходит поток вещества. При этом принимается, что в каждой из ячеек поток идеально перемешан, а между ячейками перемешивание отсутствует. Параметром ячеечной модели, количественно характеризующим продольное перемешивание, служит число ячеек полного перемешивания. При n ® ¥, ЯМ ® ИВ, а при n ® 1, ЯМ ® ИП.

Ячеечная модель достаточно точно воспроизводит структуру потока в последовательно соединенных аппаратах с мешалками (каскад реакторов), в массообменных колоннах с безпровальными тарелками и, частично, в кипящем слое. При внесении соответствующих изменений в ЯМ (ячеечная с рециркуляцией) она может использоваться и для аппаратов с обратным перемешиванием потока: массообменные колонны с провальными тарелками, барботажные колонны, аппараты с кипящим слоем и т.д.

Принципиальная схема модели представлена на рис. 4.5.

Свх,

Рис. 4.5. Принципиальная схема ячеечной модели

Математическое описание модели для случая, когда объемы ячеек и среднее время пребывания потока в каждой из них равны, имеет вид

- - - - - - - - - - - - - - - - -

(4.9)

- - - - - - - - - - - - - - - - -

где – объем i-й ячейки.

В условиях стационарного режима и отсутствия каких-либо превращений в аппарате С_вх = С_вых = С_n. Отклики модели на типовые возмущения приведены на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Отклики модели на типовые возмущения

Решения модели:

Импульсное возмущение

Для 1-й ячейки в соответствии с граничными условиями: С_вх = 0 при t = 0 и С₁ = С_н на основании решения модели ИП

. (4.10)

Тогда для 2-й ячейки в соответствии с граничными условиями: С_вх = С₁ и С₂ = 0 при t = 0

. (4.11)

Произведя аналогичные вычисления для всех ячеек, для n-ной будем иметь

. (4.12)

Введя безразмерную концентрацию С(q) = С_n/С_н и время , функцию отклика (4.12) можно представить в виде

. (4.13)

Ступенчатое возмущение

При ступенчатом возмущении для случая скачкообразного уменьшения концентрации до нуля аналогично получаем

. (4.14)

При ступенчатом возмущении для случая скачкообразного увеличения концентрации

. (4.15)

Оценка параметра n ячеечной модели

Параметр n можно определить через моменты функции отклика на импульсное возмущение:

Начальный момент 2-го порядка .
Центральный момент 2-го порядка . (4.16)
Безразмерный центральный момент 2-го порядка	.

Рассмотрим пример определения параметров и n ячеечной модели.

Для моделирования процесса в аппарате было решено использовать ячеечную модель. Структура потока в аппарате исследована импульсным методом, результаты исследования и расчетов приведены в табл. 4.1. Требуется определить целесообразность использования ячеечной модели.

Таблица 4.1

Результаты исследования структуры потока и расчета параметров модели

t, мин
Cэ(t), г/л		0,25	0,7	1,05	1,05	0,55	0,25	0,1	0,05	0,01
С(t), мин–1		0,062	0,175	0,262	0,262	0,137	0,062	0,025	0,012	0,0025
q		0,278	0,555	0,833	1,111	1,389	1,666	1,944	2,222	2,499	2,777
C(q)		0,225	0,629	0,943	0,943	0,494	0,225	0,090	0,045	0,009
при n = 6		0,121	0,734	1,053	0,838	0,483	0,227	0,093	0,034	0,012	0,004

Решение.

Среднее время пребывания индикатора в потоке, мин:

.

Значения нормированной и безразмерной кривых

; .

Безразмерная дисперсия и количество ячеек

.

Принимаем n = 6. Тогда расчетные значения безразмерной кривой при шести ячейках

.

Среднее значение безразмерной кривой

.

Дисперсия относительно среднего значения безразмерной кривой

.

Дисперсия адекватности

.

Расчетное значение критерия Фишера

,

где критическое значение F_к взято по таблице (приложение 5) для 5 %-ного уровня значимости. Вывод: F_к < F – модель использовать целесообразно.