Методы исследования структуры потоков

Сущность указанных методов заключается в том, что на входе потока в аппарат вводят индикатор, а на выходе измеряют его концентрацию как функцию времени. Полученная выходная кривая называется функцией отклика системы на типовое возмущение по составу потока. В качестве индикаторов обычно используются красители, растворы солей и кислот, изотопы и др. вещества.

Индикатор должен соответствовать следующим требованиям:

– поведение частиц индикатора в аппарате должно быть подобно поведению частиц потока;

– индикатор не должен взаимодействовать со средой;

– должен легко измеряться.

В зависимости от способа подачи индикатора различают три основных метода исследования структуры потоков: импульсный; ступенчатый; циклический.

Импульсный метод

В соответствии с импульсным методом на входе потока в аппарат, практически мгновенно, в виде дельта функции, вводят определенное количество индикатора. Тогда возмущающий сигнал и кривая отклика будут иметь следующий вид (рис. 3.2).

Если обозначить объемный расход потока через , а экспериментальную функцию отклика, представляющую собой концентрацию индикатора на выходе потока из аппарата как функцию времени t через С_э(t), то количество индикатора, время пребывания которого в аппарате изменяется от t до t + dt, составит

, (3.1)

а отношение dG ко всему количеству индикатора G выразит долю индикатора, вышедшего из аппарата за то же самое время:

Рис. 3.2. Кривая отклика на импульсное возмущение

, (3.2)

где G можно определить как

. (3.3)

Тогда, подставив значение G из уравнения (3.3) в уравнение (3.2), получим

, (3.4)

где выражение

(3.5)

задает нормированную С-кривую.

Так как поведение индикатора в аппарате идентично поведению основного потока, то выражения (3.2) и (3.4) представляют собой долю потока, время пребывания которого изменяется от t до t + dt.

Одной из основных характеристик кривой распределения является среднее время пребывания потока в аппарате,

. (3.6)

С учетом формул (3.4) – (3.6) получим

. (3.7)

Использование полученной функции отклика в натуральных значениях координат C_э(t) – t не всегда бывает удобным для расчетов, поэтому кривую отклика обычно приводят к безразмерному виду и называют С-кривой.

Здесь – безразмерное время,

; (3.8)

а – безразмерная концентрация,

, (3.9)

где – начальная концентрация индикатора в потоке,

, (3.10)

здесь – объем аппарата.

Среднее время пребывания потока в аппарате можно также представить в виде отношения объема аппарата V к объемному расходу потока,

. (3.11)

Установим связь между dR и C(q). Для этого умножим и разделим правую часть уравнения (3.2) на и с учетом уравнений (3.8) – (3.11) получим

, (3.12)

где

. (3.13)

Таким образом

. (3.14)

Теперь найдем связь между . На основании уравнений (3.4 – 3.14) имеем

. (3.15)

Если построить экспериментальную кривую в нормированных координатах, то доля потока, пребывающего в аппарате в течение времени от 0 до q, будет определяться по формуле

(3.16)

естественно, что

. (3.17)

Таким образом, С-кривая является характеристикой распределения элементов потока по времени их пребывания в аппарате.

Ступенчатый метод

В соответствии со ступенчатым методом концентрацию индикатора на входе потока в аппарат меняют скачкообразно от нуля до некоторого значения (или от некоторого значения до нуля) и в дальнейшем оставляют неизменной.

Кривая отклика при этом имеет вид, представленный на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Кривая отклика на ступенчатое возмущение

Если выразить данную зависимость в безразмерных координатах , то она будет называться F-кривой, где

. (3.18)

В данном случае доля элементов потока, время пребывания которых находится в пределах от qдо q + dq, составит

, (3.19)

а доля элементов потока со временем пребывания от 0 до q

. (3.20)

Так как сумма всех долей жидкости в аппарате равна 1, то площадь под С-кривой равна 1 и при , т.е.

. (3.21)

Среднее время пребывания потока в аппарате

. (3.22)

Проинтегрировав полученное выражение по частям, получим

. (3.23)

Окончательно среднее время пребывания потока выразится через функцию F следующим образом:

. (3.24)

Геометрически среднее время пребывания потока соответствует площади над кривой F(t).

Циклический метод

При циклическом методе концентрацию индикатора на входе потока в аппарат изменяют по синусоидальному закону. В этом случае функция отклика тоже представляет собой синусоиду, но имеющую другую амплитуду и сдвинутую по фазе (рис. 3.4).

С помощью циклического метода можно определить коэффициент обратного перемешивания потока. Организовать подачу индикатора подобным образом сложнее, поэтому данный метод менее распространен.

Рис. 3.4. Кривая отклика на циклическое возмущение

3.2. Основные характеристики функции распределения
потока по времени пребывания в аппарате

Основными характеристиками распределения элементов потока по времени их пребывания в аппарате являются моменты С-кривой. В зависимости от начала отсчета случайной величины различают начальные и центральные моменты.

Начальные моменты

Общий вид начальных моментов

, (3.25)