Проверка моделей на адекватность

Математическая модель объекта является лишь его аналогом, поэтому значения переменных, полученные на объекте и модели, различаются. В связи с этим возникает задача установления близости модели реальному объекту, т.е. ее адекватности.

Одним из критериев оценки адекватности однооткликовых моделей является критерий Фишера F.

, (2.14)

где – дисперсия адекватности, характеризующая разброс между экспериментальными и расчетными значениями параметра оптимизации; – дисперсия воспроизводимости, характеризующая разброс (относительно среднего) значений параметра оптимизации в параллельных опытах.

Если проведено n не параллельных опытов, а для получения дисперсии воспроизводимости проделана серия из m параллельных опытов, то

, , (2.15)

здесь

, , (2.16)

где f_ади f_вос соответственно число степеней свободы дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости; – количество факторов, у – расчетное значение параметра оптимизации; – среднее значение параметра оптимизации в параллельных опытах,

. (2.17)

Расчетное значение F сравнивают с F_кр критическим значением (приложение 5). Если F < F_кр, модель адекватна, в противном случае – нет.

Рассмотрим пример на определение адекватности модели.

Имеются экспериментальные значения фактора х_i и параметра оптимизации (табл. 2.1), а также уравнение регрессии, полученное в результате их обработки, y = 1,2 + 0,8x. Для оценки дисперсии воспроизводимости было поставлено четыре параллельных опыта при значениях фактора x = 0 (табл. 2.2).

Таблица 2.1

Результаты эксперимента

Nоп
xi	–2	–1
			1,0	2,0	3,0

Таблица 2.2

Результаты параллельных опытов

Nоп
	0,8	0,9	1,0	1,3

Требуется проверить полученное уравнение на адекватность.

Решение

Подставив значения фактора х в уравнение регрессии, определим расчетные значения параметра оптимизации: :(–0,4; 0,4; 1,2; 2,0; 2,8).

По формуле (2.17) определим среднее значение параметра оптимизации в параллельных опытах,

,

где m количество параллельных опытов, равное четырем.

По формулам (2.15) вычислим значения дисперсий адекватности и воспроизводимости:

, ,

где ; ; n = 5; l = 1.

По формуле (2.14) определим расчетное значение критерия Фишера и сравним его с критическим значением, взятым по таблице в приложении 5 для f_ад = 3; f_вос = 3 и 5 %-го уровня значимости, принимаемого в химико-технологических расчетах.

Вывод – уравнение регрессии адекватно описывает процесс.

3. Математическое описание структуры потока
в аппарате – основа построения моделей

Известно, что гидродинамическая структура потока в аппарате существенно определяет эффективность и завершенность химико-технологических процессов. При этом математическая модель структуры потока является основой, на которой строится математическое описание всего химико-технологического процесса. Однако поведение потока в аппарате является настолько сложным, что в большинстве случаев не поддается строгому математическому описанию. Следовательно, необходимо найти такой параметр оценки структуры потока, который, не вдаваясь в математические подробности, позволил бы качественно его охарактеризовать. Одним из таких параметров является функция распределения по времени пребывания (РВП) частиц потока в аппарате рис. 3.1.

Рис. 3.1. Функция распределения по времени пребывания частиц
потока в аппарате

Функция РВП отражает время пребывания различных долей потока в аппарате и, следовательно, характеризует длительность взаимодействия компонентов реакционной смеси.

Если известен явный вид функции РВП и кинетические закономерности процесса, то, составив математическую модель, легче определить оптимальные условия его протекания.

Характер функции РВП определяется неравномерностью потока в аппарате, имеет стохастическую природу и оценивается статистическим распределением.

Наиболее существенными источниками неравномерности потока являются:

– неравномерность профиля скоростей;

– турбулизация потока;

– наличие застойных зон;

– каналообразование, перекрестные и байпасные токи;

– температурные градиенты движущихся сред;

– тепло- и массообмен между фазами и т.д.

Рассмотрим наиболее распространенные экспериментальные методы исследования структуры потоков.