Нахождение решения математической модели

Как правило, решение модели представляет наиболее сложную задачу, когда ее математическое описание получено в дифференциальной форме. Если аналитического решения нет или оно затруднено, то для получения результата используют численные методы.

Рассмотрим пример решения численным методом уравнения движения частицы в условиях переменной скорости потока. Ранее нами было получено уравнение (2.6), устанавливающее функциональную связь между параметрами потока, характеристиками частицы и высотой ее подъема в сепарационном пространстве аппарата. Перепишем это уравнение с учетом непостоянства коэффициента сопротивления и скорости потока по высоте зоны сепарации:

, (2.10)

где – коэффициент сопротивления как функция скорости частицы относительно потока; – текущая скорость потока как функция высоты подъема частицы, например в диффузоре.

Составим алгоритм решения приведенной модели для случая, когда сепарационная зона аппарата кипящего слоя выполнена в форме диффузора круглого поперечного сечения. Предварительно уравнение (2.10) приведем к следующему виду:

, (2.11)

где, в отличие от ранее разобранного примера, скорость потока зависит от текущей высоты диффузора,

, (2.12)

здесь V – объемный расход потока газа; r – меньший радиус диффузора, a и Н – угол раскрытия диффузора и высота подъема частицы соответственно.

Для решения уравнения (2.11) выберем один из самых простых методов – метод Эйлера. Обозначим правую часть уравнения (2.11) через f(W, H), тогда в соответствии с принятым методом можно написать

. (2.13)

Алгоритм решения уравнения (2.13) будет следующим:

1. Задание исходных значений и граничных условий:

W_п0, W₀, W_в, W_п(H), H₀, dH, l_в, ;

W_п = W_п0 и W = W₀ при H = H₀ = 0;

W = 0 при H = H_max;

2. Определение нового значения скорости частицы W = W + + f(W, H)dH;

3. Определение нового значения высоты подъема частицы H = = H + dH;

4. Проверка условия W £ 0, если условие выполняется, то переход к п.5, в противном случае переход к п.2;

5. Выход.