Экономическая интерпретация двойственных задач

Экономическая интерпретация двойственных задач

Критерий разрешимости задачи ЛП

Следствие 1 (Теорема существования)

Для того, чтобы в двойственных задачах 1 и 1* существовали оптимальные векторы х и у, т.е. имел место случай 1 теоремы двойственности, достаточно выполнения одного из следующих условий:

1. в задаче 1 существует оптимальный вектор х

2. в задаче 1* существует оптимальный вектор у

3. в задаче 1 существует допустимый вектор х и функция ограничена сверху

4. в задаче 1* существует допустимый вектор у и функция ограничена снизу

5. в задачах 1 и 1* существуют допустимые векторы х и у

Следствие 2 (Необходимый признак оптимальности)

Допустимый признак оптимальности в краткой и развернутых формах является так же необходимым признаком.

Доказательство: пусть имеется оптимальный вектор х в задаче 1 и оптимальный вектор у в задаче 1*. Тогда на основании условий 2 теоремы о существовании имеет место случай 1 теоремы двойственности, то есть .

Пример.С внедрением новой технологии на некотором предприятии появилась возможность использовать отходы 1,2,3 - го видов производства, получаемых в количестве 70, 30, 15 единиц в сутки соответственно для производства двух видов изделий, пользующихся большим спросом. Известно, что для производства одного изделия первого вида требуется 4, 3, 0 единиц отходов 1, 2, 3-го видов соответственно; для производства одного изделия второго вида требуется 3, 4, 3 единиц отходов 1, 2, 3-го видов. Ожидаемая прибыль от реализации продукции I и II-го видов 12 и 15 рублей соответственно. Требуется составить план производства x=продукции I и II-го видов, обеспечивающий наибольшую прибыль (задача ЛП).

Задача I.Найти :

Задача I.Найти : Это же предприятие получило возможность продавать отходы производства, для чего ему необходимо определить их цену. Пусть - цена единицы отходов 1,2,3 - го видов. Естественно, что покупатель стремится к тому, чтобы суммарная цена всех отходов была наименьшей, а предприятию выгодно продавать их лишь в том случае, если выручка от продажи не меньше, чем прибыль от реализации готовых изделий.

Математическая модель задачи I Задача II.Найти : Задачи I и II являются парой двойственных задач.