Уровень значимости корреляции

Коэффициент линейной корреляции

Коэффициент корреляции Пирсона называется также коэффициентом линейной корреляции или произведением моментов Пирсона. Он позволяет определить силу связи между двумя признаками, измеренными в метрических шкалах.

Его формула выглядит следующим образом:

У разных авторов эта формула может выглядеть по-разному. В данном пособии формула приводится в том виде, как она дана в кн. Наследов А.Д., Тарасов С.Г. «Применение математических методов в психологии».

Последовательность расчетов можно продемонстрировать на следующем примере. Итак, необходимо:

1. Вычислить значение корреляции между показателями роста в сантиметрах и веса в килограммах у представителей группы студентов.

2. Поставить вопрос о достоверности этого коэффициента. Для решения второй задачи необходимо предварительно сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы:
Н₀: корреляция между показателями роста и веса значимо не отличается от нуля (является случайной).
Н₁: корреляция между показателями роста и веса значимо отличается от нуля (является неслучайной).

3. Данные заносятся в таблицу, при этом желательно, чтобы один из столбцов значений признака (показатели роста или веса) был упорядочен.

№	X (рост)	Y (вес)	x_i-М_х	(x_i-М_х)²	y_i-М_у	(y_i-М_у)²	(x_i-M_x)*(y_i-M_y)
			-7,6	57,76	-11,3	127,69	85,88
			-6,6	43,56	-9,3	86,49	61,38
			5,4	29,16	6,7	44,89	36,18
			-6,6	43,56	-1,3	1,69	8,58
			10,4	108,16	12,7	161,29	132,08
			-3,6	12,96	-8,3	68,89	29,88
			-2,6	6,76	0,7	0,49	-1,82
			-0,6	0,36	9,7	94,09	-5,82
			8,4	70,56	4,7	22,09	39,48
			3,4	11,56	-4,3	18,49	-14,62
n=10	М_х=166,6	М_y=58,3		Σ(x_i-M_x)²=384,4		Σ(y_i-M_y)²=626,1	Σ(x_i-M_x)*(y_i-M_y)=371,2

σ_х =≈ 6,53 σ_у =≈ 8,34

R_xy = ≈ 0,758

Некоторые исследователи, вычислив значение коэффициента корреляции, на этом и останавливаются. Но с точки зрения грамотной методологии эксперимента следует определить и уровень значимости (то есть степень достоверности) данного коэффициента.

Уровень значимости коэффициента корреляции вычисляется при помощи таблицы критических значений. Ниже дан фрагмент указанной таблицы, позволяющий определить уровень значимости полученного нами коэффициента.

n	p = 0,1	p = 0,05	p = 0,01	p = 0,001
	0,582	0,666	0,798	0,898
	0,549	0,632	0,765	0,872
	0,521	0,602	0,735	0,847

Мы выбираем ту строку, которая соответствует объему выборки. В нашем случае
n = 10. Мы выбирает в данной строке то табличное значение, которое чуть меньше эмпирического (или точно равно ему, что бывает крайне редко). Это выделенное жирным шрифтом число 0,632. Оно относится к столбцу со значением уровня достоверности p = 0,05. То есть, фактически, эмпирическое значение занимает промежуточное положение между столбцами p = 0,05 и p = 0,01, следовательно, 0,05 ³ p ³ 0,01. Таким образом, мы отвергаем нулевую гипотезу и приходим к выводу, что полученный результат
(R_xy = 0,758) значим на уровне p < 0,05 (это уровень статистической значимости):
R_эмп > R_кр (p < 0,05) H₀, Þ Н₁! _{ст. зн}.

На бытовом языке это можно проинтерпретировать следующим образом: можно ожидать, что эта сила связи будет иметь место в выборке реже, чем в пяти случаях из 100, если эта связь – следствие случайности.