Метод Гаусса

Решение систем линейных уравнений

(1)

Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде:

,

где

Система (1) путем последовательного исключения неизвестных приводится к системе с треугольной матрицей, из которой и определяются значения неизвестных.

Процесс исключения неизвестных:

Пусть a₁₁≠0. Разделим первое уравнение на a_11. Затем вычтем из каждого i–го (i≥2) уравнения, полученного после деления, первое, умноженное на a_i1 . В результате, после преобразований x₁ окажется исключенным из всех уравнений кроме первого.

По той же схеме исключается x₂ , x₃ и т.д.

Получается треугольная матрица с единичной главной диагональю.

Общая формула определения неизвестных

Из последнего уравнения сразу определяется x_n, далее, подставляя его в предпоследнее уравнение, получаем x_n-1 и т.д.

Процесс нахождения неизвестных по способу Гаусса распадается на два этапа:

- Первый – приведение к треугольному виду – прямой ход.

- Второй – определение неизвестных по полученным формулам – обратный ход.

Процесс исключения k–го неизвестного называется k–м шагом прямого хода.

Элементы называются ведущими.

Общие формулы пересчета коэффициентов системы на k-м шаге:

В методе Гаусса происходит деление строк на соответствующие ведущие элементы, поэтому, если на каком-то k–м шаге на главной диагонали окажется нулевой элемент , то среди элементов (i=k+1,..n) следует найти ненулевой и перестановкой строк переместить его на главную диагональ, а затем продолжить вычисления.

Для этого следует воспользоваться, например, методом Гаусса выбора главного элемента в столбце.

Суть которого состоит в определении максимального элемента в столбце текущей строки и перестановке строки с максимальным элементом в столбце с текущей строкой, если такой найден.