Метод Симпсона

Метод прямоугольников

Вычисление определенных интегралов

Функция задана аналитически.

Отрезок интегрирования разбивается на n равных частей длины

Точки разбиения: x₀=a x₁=x₀+h … x_i=x₀+ih… x_n=b.

Функция вычисляется в точках разбиения y_i=f(x_i).

Метод трапеций (для аналитически заданной функции)

Тогда согласно методу трапеций

Например, вычислить интеграл Площадь трапеции:

Например, вычислить интеграл Площадь прямоугольника: ∆S1=y1* h

левые концы участков, (1)

правые концы участков. (2)

Погрешность формулы прямоугольников можно получить, рассматривая разность результатов, полученных по формулам (1) и (2).

Отрезок интегрирования разбивается на четное число 2n равных частей длины h=(b-a)/2n.

a=x₀ < x₁ < …< x_2n-1 < x_2n = b

Рассматривается пара соседних участков и через три точки кривой с координатами (x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂) проводится парабола с осью, параллельной оси Oy.

Ее уравнение y=Ax² +Bx +C. Площадь криволинейной трапеции на участке [x₀,x₂] заменяется площадью криволинейной трапеции, ограниченной параболой.

Если вынести за скобку общий множитель x₂-x₀ и привести к общему знаменателю, получится

(1)

Неизвестные коэффициенты A, B, C находятся из условия, что при значениях x равных x₀, x₁,x₂, функция f(x) принимает соответственно значения y₀, y₁, y₂. Если взять , то условия можно записать

(2)

Второе равенство умножается на четыре, все три равенства складываются, получается

(3)

Что совпадает с квадратной скобкой в правой части равенства (1). Если подставить (3) в (1), и заметить, что x₂ –x₁=2h, (h=(b-a)/(2n)), то получится

(4)

Для каждой следующей пары участков получится такая же формула

(5)

Суммируя равенства вида (4) и (5) по всем участкам можно получить

или, если обозначить N=2n

.

Это и есть формула Симпсона. Ее называют также формулой парабол.

Переменная с=1 для нечетных i и –1 для четных, т.о. реализуется коэффициент (-1)i-1.

Результаты вычисления интеграла , полученные разными методами: